¿Una resistencia Mobius tiene inductancia cero? ¿Cómo se calcula la inductancia?

Question

Wikipedia describe un Resistencia Möbius como sigue, y la patente de este dispositivo ofrece una descripción similar.

Una resistencia de Möbius es un componente eléctrico formado por dos superficies conductoras separadas por un material dieléctrico, retorcidas 180° y conectadas para formar una banda de Möbius. Al igual que la banda de Möbius, una vez conectada de esta forma, la resistencia de Möbius sólo tiene una cara y una superficie continua. Sus conectores están unidos en el mismo punto de la circunferencia, pero en superficies opuestas. Así se consigue una resistencia sin autoinductancia residual, lo que significa que puede resistir el flujo de electricidad sin causar interferencias magnéticas al mismo tiempo.

(a) ¿Una resistencia Mobius de este tipo no tiene realmente "ninguna autoinductancia residual" como se afirma?

(b) Si tiene un valor definido de inductancia distinto de cero, ¿cómo se calcula?

(c) ¿Las ventajas que se atribuyen a esta resistencia se deben a que está construida como una banda de Mobius?

Answer 1

La inductancia puede calcularse, pero primero es necesario observar el comportamiento a escalas de tiempo muy rápidas, de un ns aproximadamente. Es evidente que las dos caras de la tira forman una línea de transmisión y, por tanto, a escalas de tiempo cortas, la resistencia aparece como dos líneas de transmisión en paralelo. A escalas de tiempo cortas, cada línea se verá como una resistencia de valor igual a la impedancia característica, Z, de la línea. Por tanto, en escalas de tiempo cortas, este dispositivo parece una resistencia de valor Z/2. Pero para la construcción típica de una resistencia de este tipo con un diámetro de bucle de, digamos, 30 mm, este comportamiento inicial desaparecerá en un ns más o menos, y entonces la resistencia vendrá fijada por la resistividad, la anchura y el grosor y la longitud de las tiras conductoras. Estoy seguro de que cuando el inventor afirma que "no hay inductancia", se refiere a escalas de tiempo de más de un ns, después de las cuales la entrada al dispositivo ya no se parece a la entrada a una línea de transmisión.

Bien, entonces ¿cómo podríamos calcular la inductancia, válida para escalas de tiempo mayores que el tiempo de tránsito alrededor de la espira?

En la Fig1, que es una vista en planta, vemos 2 espiras idénticas en paralelo, coloreadas en negro y verde, con la torsión en la parte inferior del dibujo, cerca del punto P. Las espiras son idénticas, pero la corriente viaja en direcciones diferentes alrededor de las espiras. Así, los campos magnéticos (casi) se cancelan y el dispositivo parece (casi) no inductivo. Una descripción es que la resistencia son dos inductores antifase conectados en paralelo, con un coeficiente de acoplamiento casi igual a uno, de modo que casi todo el flujo creado por una bobina pasa a través de la otra. Eso está bien como descripción cualitativa, pero yo preguntaba cómo se podía calcular la inductancia. Quizá haya varias maneras, pero yo ofrezco la siguiente.

Consulte el punto P de la Fig. 1, donde los conductores interior y exterior se "cruzan" debido a la torsión. Se supone que la longitud de la sección retorcida es pequeña en comparación con la longitud total de la espira. La simetría nos dice que este punto, en ambos conductores, está siempre a un potencial igual a la mitad de la tensión aplicada a la resistencia. Como P está siempre a la misma tensión (la mitad de la tensión aplicada) en ambos se deduce que podríamos conectar eléctricamente los dos bucles en este punto, y esto no tendría ningún efecto sobre el funcionamiento del circuito.

La Fig. 2 muestra el circuito equivalente creado al conectar las espiras en este punto. Nótese que el pequeño enlace horizontal en P en la Fig2 no está haciendo nada en realidad. Por razones de simetría, no habrá corriente a través de este enlace; si la hubiera, ¿en qué dirección iría la corriente? Y como no hay corriente a través de este enlace, entonces se puede quitar sin cambiar el funcionamiento del circuito.

En la Fig. 3 se ha suprimido este pequeño eslabón. Además, se han enderezado los dos bucles largos y finos, lo que tampoco afectará al funcionamiento del circuito, teniendo en cuenta que el campo B de estos bucles finos está muy localizado en el pequeño hueco entre conductores, por lo que el campo de uno no interfiere con el otro (ni con nada cercano), así que somos libres de enderezar o doblar estos bucles como queramos sin afectar al funcionamiento del circuito.

Así que acabamos con el circuito equivalente de la Fig3, donde los terminales de entrada de la resistencia siguen conectados a dos espiras en paralelo, pero ahora las espiras en cuestión son largas y muy finas, separadas magnéticamente, y su inductancia se calcula fácilmente con la aplicación de la Ley de Ampere.

La Fig. 4 ilustra el método para hallar la inductancia de una de estas largas y delgadas espiras. Siempre que la anchura y la longitud de la tira sean grandes en comparación con la separación, entonces, en una buena aproximación, el campo B es fuerte y uniforme entre los conductores, y cero en todas las demás partes. La ley de Amperes dice :-

$$\oint B.dl = \mu_0 I$$

Donde Integral $\oint B.dl$ es una integral de línea es alrededor de un bucle cerrado, $I$ es la corriente que pasa por la espira, y $\mu_0$ es la permeabilidad magnética del espacio libre

La integral de línea se calcula fácilmente, porque hay un campo B constante a lo largo de la parte inferior de la trayectoria de integración rectangular, los tramos verticales de la trayectoria son de longitud despreciable, y el campo es cero a lo largo de la parte superior de la trayectoria.

$$\oint B.dl = \mu_0 I$$

$$BW = \mu_0 I$$

$$B=\frac{\mu_0 I}{W}$$

Flujo total a través del bucle = $\Phi = BA = BTC = \frac{\mu_0 ITC}{W}$

donde $T$ es la separación entre conductores y $C$ es la longitud del bucle, en este caso la mitad de la longitud total del bucle de Mobius.

Por fin,

$L \text{(Henry)} = \frac{\Phi}{I}$ (se puede encontrar en cualquier libro de texto)

$L = \frac{\mu_0 TC}{W}$ (para un bucle)

$$\bf L_\text{mobius} = \frac{\mu_0 TC}{(2W)}$$ (porque hay 2 bucles idénticos en paralelo)

Qué bonito y sencillo. Así que para minimizar la inductancia, se necesita una separación pequeña entre las bandas, una longitud pequeña del bucle de Mobius y una banda ancha. El campo B de estos bucles estrechos está muy localizado en el pequeño espacio entre conductores, por lo que el campo de uno no interfiere con el otro (ni con nada cercano) y el bucle de Mobius se puede doblar en forma de elipse u otra forma sin afectar a la inductancia que se observa entre los terminales.

DE ACUERDO. Así que la fórmula muestra que la inductancia no es inherentemente cero como se afirma, pero ¿cómo de pequeña será para una construcción típica? Supongamos las siguientes dimensiones.

$T = 0.05 mm = 0.05\times 10^{-3} m$

$C = 47 mm = 0.047 m$ (corresponde a D=30mm)

$W = 10 mm = 0.01 m$

$\mu_0 = 1.26\times 10^{-6}$ (para el espacio libre, ya que no hay materiales magnéticos presentes)

.

$L = uTC/(2W)$

$L = 1.48\times 10^{-10}$ Enrique = 0,148 nH

Se trata de una inductancia muy baja, ideal para la detección rápida de corriente. Para aprovechar una inductancia tan baja se necesitan terminales de detección Kelvin (resistencia de 4 hilos), lo cual es fácil de conseguir, ya que de lo contrario la inductancia de los hilos de entrada superaría con creces la de la propia resistencia. Para poner el valor de 0,15 nH en perspectiva, la inductancia del encapsulado de la conexión de la fuente del mosfet en un encapsulado de semiconductor de potencia TO220 es de unos 5 nH, medidos a 6 mm de la matriz, por lo que 0,15 nH es un valor de inductancia absurdamente pequeño para un componente electrónico.

Más adelante añadiré más texto para mostrar un método mejor de construir resistencias de baja inductancia, que llevo décadas utilizando con buenos resultados.

Answer 2

Para responder a la tercera pregunta :-

(c) ¿Las ventajas que se atribuyen a esta resistencia se deben a que está construida como una banda de Möbius?

El hecho de que la resistencia esté hecha de una banda de Möbius sin duda pone un giro interesante sobre el problema, pero en última instancia no es más que un truco. El giro de 180 grados no tiene nada que ver con la baja inductancia. La baja inductancia es el resultado de tener un par de tiras conductoras anchas y finas, separadas por una pequeña distancia, con la corriente fluyendo en dirección opuesta en cada tira. Esta forma de construcción proporciona una cancelación casi perfecta de los campos magnéticos, que a su vez es responsable de la baja inductancia, mientras que la torsión de Möbius de 180 grados es una distracción irrelevante.

Hay una forma mucho mejor de producir resistencias de baja inductancia que he estado fabricando y utilizando durante décadas con buenos resultados, y que se muestra en las Fig 3 y Fig 4, donde no hay el molesto giro de Möbius de 180 grados, pero el rendimiento de baja inductancia es idéntico.

Personalmente construyo estas resistencias no-Möbius con una sola espira plegada, es decir, sólo una de las dos espiras conectadas en paralelo que se muestran en la Fig 3, como en la espira simple de la Fig 4. Sí, se puede reducir a la mitad la inductancia con las 2 espiras, pero se puede conseguir el mismo resultado de forma más sencilla reduciendo a la mitad la longitud de una sola espira. Yo utilizo calzos de latón muy finos (tan finos como 0,025 mm) para las tiras conductoras, separadas por una sola capa de película aislante de Mylar o Kapton. En todo caso, la resistencia tiende a ser más baja de lo que desearías sin hacer la longitud del bucle excesivamente larga, en cuyo caso usar 2 bucles paralelos sólo empeora ese problema. Así que, a menos que necesites una resistencia muy baja, una sola espira plegada es la mejor opción.

Liberada así de la torsión de Möbius de 180 grados, la resistencia en tira descrita anteriormente es muy superior, ya que puede empaquetarse de forma mucho más compacta y elegante. Una solución de embalaje elegante consiste en envolver la tira alrededor de la circunferencia de un cilindro metálico corto y sólido (por ejemplo, D=25 mm, L=10 mm) de cobre o aluminio. La tira puede unirse mecánica y térmicamente a la superficie exterior del cilindro, con una fina película aislante entre ambas, por supuesto, lo que proporciona una excelente conducción del calor desde la tira resistiva disipadora de calor hasta el cilindro de metal sólido. Si se eligen el grosor y la anchura de la banda y el diámetro del cilindro, es fácil conseguir que la longitud de la banda sea inferior a la circunferencia del cilindro. Para disipar más calor, la cara final del cilindro de metal sólido se atornilla a la cara de un disipador de calor con aletas disponible en el mercado.

También puede disponerse un envase plano sujetando la tira plegada entre 2 placas rectangulares de cobre, proporcionando así una vía térmica eficaz desde ambos lados de la tira disipadora de calor. Las placas pueden atornillarse, pegarse o incluso soldarse. En ambos casos, la gran proximidad del cilindro o de las placas metálicas altamente conductoras no reduce significativamente el rendimiento rápido de la resistencia, ya que el campo magnético se sitúa casi exclusivamente entre las bandas conductoras. He utilizado ambos métodos de empaquetado con buenos resultados para fabricar resistencias sensoras de corriente de muy baja inductancia y alta corriente.

Resumen. La construcción en banda de Möbius hace que la inductancia sea baja, pero no por el giro de Mobius de 180 grados, que es un truco inútil que dificulta el empaquetado eficiente.