Sea $ G $ sea un grupo discreto y $ X $ espacio topológico paracompacto. El espacio clasificador $ BG $ clasifica las clases de isomorfía en haces principales sobre $ X $ vía
$$ [ X, BG] \cong PrinG(X)/Isom , [f] \to f^* \pi $$ donde los paréntesis de la izquierda denotan las clases de homotopía de los mapas $ X \to BG $ y $ \pi: EG \to BG $ el haz universal. Dado que el espacio clasificador sólo es único hasta la homotopía, hay varias formas de construirlo. En el caso de un grupo discreto $ G $ existe una especie de realización canónica de $ BG $ como $ \triangle $ -complejo cuyo $n$ -vienen dadas por $[g_0,g_1,...,g_n]$ pegados de la forma obvia.
Más concretamente, el haz universal $EG$ lleva la estructura de un $\triangle$ -complejo cuyo $n$ -simples son los ordenados $(n + 1)$ tuplas $[g_0, ... ,g_n]$ de elementos de $G$ . Como espacio cociente el espacio clasificatorio $BG=EG/G$ hereda la estructura $\triangle$ -donde a $n$ -simplex $BG$ puede escribirse unívocamente de la forma $[g_1 \vert g_2\vert ... \vert g_n]:= G \cdot [e_G, g_1, g_1g_2,..., g_1,.., g_n]$ . Para más detalles, véase la página 89 del libro de Hatcher sobre topología algebraica.
Supongamos ahora $ X $ ser un $ \triangle $ o más en general un -complejo simplicial y $ F \to X $ ser un director $G$ -bundle. ¿Es posible construir explícitamente de forma bastante natural a partir de este $G$ -un simplicial o mapa de $ \triangle $ - complejos $X \to BG$ (es decir $ n $ -símplices asignados a $n$ simplices) que representa canónicamente exactamente la clase de homotopía de $ X \to BG $ que representa una clase de homotopía que corresponde mediante la correspondencia anterior a la clase de isomorfismo de $F \to X$ ? En otras palabras, la cuestión es cómo construir combinatoriamente el mapa $ PrinG(X)/Isom \to [ X, BG] $ en la otra dirección en caso de que $ X $ ¿combinatoriamente "bonito"?
He aquí algunas ideas sueltas:
Una idea de cómo gestionarlo en el caso $X$ es unidimensional, es decir consta de vértices y $1$ -simplemente.
Creo que podemos asumir que cada bucle contiene al menos tres vértices, si no, subdividir cualquier $1$ -simplemente ser parte del bucle en tres nuevos $1$ -simplemente:
$\bullet$ ------- $ \bullet$ subdividir en $\bullet$ ---- $\bullet$ ---- $\bullet$ ---- $\bullet$
(¿por qué lo hacemos? Para evitar problemas con las funciones de transición en las intersecciones de cobertura trivializante; ver más adelante)
Ahora, elegimos una cubierta $\{U_i\}_{i \in I}$ de $X$ sobre el que el principal $G$ -empaquetar $E \to X$ trivializar, es decir $E \vert _{U_i} \cong U_i \times G$ .
Ahora hacemos varias suposiciones sobre esta portada que parecen bastante realizables si $X$ es la dimensión uno, pero posiblemente falle en dimensión (por eso creo que este enfoque sólo funciona en la dimensión uno):
Elegimos una cubierta $\{U_i\}_{i \in X_0} $ indexado por el conjunto $X_0= \{v_1, v_2,..., \} $ de vértices de $X$ y requieren que cada miembro $U_i$ cumple las siguientes propiedades:
-
$v_i \in U_i$ y $v_j \not \in U_i$ para cualquier otro vértice $v_j \neq v_i$
-
$U_i$ y $U_j$ tienen una intersección no trivial - que en ese caso es isomorfa a un intervalo abierto $ \cong (0,1)$ - sólo si vértices $v_i$ y $v_j$ son adyacentes, es decir, forman el límite de a $1$ -simplex $[v_i, v_j]$ ; en este caso la intersección $U_i \cap U_j \cong (0,1) $ está completamente contenido en el interior de este $1$ -simplex $[v_i, v_j]$
(Atención: Aquí es donde usamos la suposición de que cada bucle en $X$ contiene al menos tres vértices. En caso contrario podrían ocurrir dos cosas no deseadas: una que un $1$ -simplex que tiene un único vértice como límite podría estar contenido completamente en un $U_i$ (no lo queremos) y en segundo lugar dos o más diferentes $1$ -símplices que tienen como frontera los mismos dos vértices $v_i$ y $v_j$ - en ese caso la intersección $U_i \cap U_j$ no sería un intervalo abierto, sino una unión de abiertos abiertos; uno por cada $1$ -simple. Eso causaría problemas con la construcción del mapa $X \to BG$ más tarde).
Recordemos que en un complejo simplicial un simplex superior es completamente por sus vértices; en un complejo $\triangle$ -complejo allí puede haber diferentes símplices superiores que tengan el mismo conjunto de vértices, eg $1$ -complejo
$v_1$ --- $w$ --- $v_2$ tras identificar vértices $v_1$ y $v_2$ . Y tal comportamiento causaría problemas cuando intentamos asociar a un $1$ -simplex de $X$ a $1$ -simplex en $BG$ .
Obviamente cada $U_i$ es contractible, ya que por construcción es isomorfo a un ramillete de intervalos $[1, 0)$ (una para cada $1$ -simple teniendo $v_i$ como uno de sus puntos límite), después de identificar la izquierda $1$ con el punto de vértice $v_i$ .
Ahora construimos el mapa $f:X \to BG$ : el $\triangle$ -complejo de $BG$ en el libro de Hatcher sólo tiene una $vertex$ $[*]$ por lo que asignamos cada vértice de $X$ a ella. Qué hacer con el $1$ -simples de $X$ ?
L $[v_i,v_j]$ a $1$ -con puntos límite $v_i, v_j$ . Entonces existe una única intersección no trivial de las piezas de cobertura $U_i$ que figura en $[v_i,v_j]$ , obviamente por construcción $U_i \cap U_j \cong (0,1)$ .
En función de transición $g_{ij}: U_i \cap U_j \to G$ satisfaciendo el isomorfismo Parcheando. $U_i \cap U_j \times G \to U_i \cap U_j \times G, (u, g) \mapsto (u, g_{ij}(u) \cdot g)$ está determinada hasta la homotopía y puesto que $U_i \cap U_j$ contractible, $g_{ij}$ puede identificarse con un elemento de $G$ . Así que mapeamos el $1$ -simplex $[v_i,v_j]$ a la $1$ -simplex $[g_{ij}]$ de $BG$ .
Problemas:
-¿Da esta construcción el $G$ -paquete $E$ ¿Atrás? $E = f^*EG$ ? (Aquí tenemos que comprobar que la función de transición $g_{ij}: U_i \cap U_j \to G$ restringido a $U_i \cap U_j \cap f^{-1}(V_k \cap V_m) $ viene dada por $g_{ij}(u)= h_{km}(f(u)) $ donde $V_k, V_m \subset BG$ son dos subconjuntos abiertos arbitrarios de $BG$ sobre la cual el haz universal $\pi: EG \to BG$ trivializa, es decir $EG \vert _{V_k}$ y $h_{km}: V_k \cap V_m \to G$ es la función de transición asociada. No sé cómo comprobar $g_{ij}(u)= h_{km}(f(u)) $ . ¿Qué es la función de transición de $EG \to BG$ y ¿existe una elección canónica de trivialiving cover $\{V_k\}_{k \in K}$ a $\pi: EG \to BG$ ?
¿Puede generalizarse esta construcción a dimensiones superiores $X$ ? Observe que para $X$ de dimensión $1$ He elegido un portada trivializadora. No estoy seguro de si siempre es posible elegir una cubierta que satisfaga las mismas condiciones para dimensiones más altas $X$ por ejemplo, un octaedro.
Si el espacio $X$ se complica aún más (por ejemplo, de dimensión mayor que $1$ y contiene bucles que son límites de símplices superiores, mi construcción de arriba parece ser irreparable.
Otra idea ingenua era descartar todas las símplices de dimensión $\le 2$ por el momento y realizar la construcción desde arriba en el $1$ -esqueleto de $X$ pero dudo que sea posible extenderlo al mapa. $X \to BG$ naturalmente, ya que en caso de $\triangle$ -complejos las simplces de mayor dimensión casi nunca están determinadas por vértices y $1$ -simples como es el caso de complejos simpliciales.
