Cómo gestionar el " $2$ " en una expresión como " $\sin\left(2\arcsin\frac{x}{4}\right)$ "

Question

Cuando una función trigonométrica inversa tiene una constante delante que se multiplica ¿cómo se mira? ¿Distribuyes el 2 a todo el teorema de Pitágoras? La verdad es que no me entra en la cabeza cómo ver este tipo de problemas, ya que sólo he sabido resolverlos sin constante de por medio.

En concreto, me pregunto cómo se consigue esta respuesta:

$$\sin\left(2\arcsin\left(\frac{x}{4}\right)\right) = \frac{x\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}}{2}$$

Answer 1

No deberías mirar el factor $2$ como estando "delante" del arco seno, pero dentro del seno.

Entonces

$$\sin\left(2\arcsin\frac x4\right)=2\sin\left(\arcsin\frac x4\right)\cos\left(\arcsin\frac x4\right)=2\frac x4\sqrt{1-\left(\frac x4\right)^2}.$$

Answer 2

Utilizó el teorema del doble ángulo: $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$ también utilizó el hecho de que $cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$ .

Answer 3

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Ahora, su entrada es sólo una función....

Answer 4

L $$\alpha = \arcsin \dfrac {x}{4}$$ para que $$\sin \alpha = \dfrac {x}{4}$$ y $$\cos \alpha = \sqrt {1-\dfrac {x^2}{16}}$$

Sin embargo, $$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ por lo que tenemos $$2 *\dfrac {x}{4}*\sqrt {1-\dfrac {x^2}{16}}$$ y reduciendo obtenemos $$\dfrac{x \sqrt{1-\dfrac {x^2}{16}}}{2}$$