Pullback y Kernel

Question

Consideramos todo en la categoría de grupos. Se sabe que los monomorfismos son estables bajo pullback; es decir, si $$\begin{array} AA_1 & \stackrel{f_1}{\longrightarrow} & A_2 \\ \downarrow{h} & & \downarrow{h'} \\ B_1 & \stackrel{g_1}{\longrightarrow} & B_2 \end{array} $$ es un pullback, entonces $g_1$ al ser uno a uno implica que $f_1$ también es uno a uno. Ahora bien, si debilitamos la condición, supongamos que el núcleo de $g_1$ se conoce, ¿qué podemos decir sobre el núcleo de $f_1$ ? Más concretamente, si existe un diagrama conmutativo

$$\begin{array} A & & B_0 & & A_1 &\stackrel{f_1}{\longrightarrow} & A_2\\ & & \parallel & &\downarrow{h}& &\downarrow{h'}\\ 0 & \stackrel{}{\longrightarrow} &B_0 & \stackrel{g_0}{\longrightarrow} &B_1 & \stackrel{g_1}{\longrightarrow} & B_2 & \stackrel{}{\longrightarrow} & 0 \end{array}$$

donde la última fila es una secuencia exacta y $A_1$ es el pullback, ¿podemos completar una secuencia exacta en la primera fila? O al menos, ¿existe un mapa natural desde $B_0$ a $A_1$ ¿Haciendo el diagrama conmutativo?

Answer 1

En un diagrama de pullback siempre tenemos $\ker(f_1)\cong\ker(g_1)$ .

Pues, tenemos la inclusión $\ker(g_1)\to B_1$ y el mapa trivial $\ker(g_1)\to A_2$ . Por la propiedad universal del pullback, obtenemos un mapa único $\ker(g_1)\to A_1$ cuya imagen está contenida en $\ker(f_1)$ . Esto da la inversa necesaria del mapa inducido $\ker(f_1)\to\ker(g_1)$ .

Answer 2

Existe una secuencia exacta $0 \to \ker(f_1) \cap \ker(h) \to \ker(f_1) \to \ker(g_1) \to 0$ . Dudo que se pueda decir más.