Equivilencia de un Flujo Cuántico y de un Flujo Cero

Question

En la reseña de Ady Stern sobre el efecto Hall cuántico, dice de un sistema Hall cuántico "El espectro en $\Phi = \Phi_0$ es el mismo que el espectro en $\Phi = 0$ ..." ¿Puede alguien explicar a qué se debe esto? Parece que el campo magnético aplicado ciertamente cambia el hamiltoniano, y por tanto el espectro, pero aparentemente no cuando el flujo es un único cuanto.

También pido disculpas por cualquier error novato o si esto se responde en otro lugar, soy bastante nuevo en stackexchange. Gracias.

Answer 1

Los estados en $\Phi$ y $\Phi + \Phi_0$ están relacionadas por una transformación gauge[1] y por lo tanto el espectro debe ser el mismo. Para concretar hablemos de electrones fijados a un anillo de radio $R$ . Parametrizar la función de onda $\psi$ por la arclitud $l$ . La periodicidad exige que $$\psi(l +2\pi r) = \psi(l).$$ Hay algún hamiltoniano $H$ en el anillo - $H$ debe ser invariante gauge por lo que es una función sólo de la posición $l$ y la derivada invariante de guage $D = i\partial_l + A$ donde $A$ es el calibre.

Ahora tomemos la transformación gauge $A\rightarrow A+n/r$ , $\psi \rightarrow e^{inl/r}\psi$ . Esto respeta la frontera periódica si $n$ es un número entero, por lo que lleva los estados propios del hamiltoniano a los estados propios del hamiltoniano. Ahora utilizando la relación $$\int A\cdot dl = \int_S \nabla\times A \cdot da = \int_S B\cdot da \equiv \Phi,$$ vemos que nuestra transformación gauge es equivalente a cambiar el cuanto de flujo por $\Phi_0$ .

Nótese que también podríamos utilizar una transformación gauge de la forma $A \rightarrow A +\frac{n+\theta/2\pi}{r}$ . Podemos hacerlo siempre y cuando cambiemos nuestra condición vinculante por $$\psi(l+2\pi r) = e^{i\theta}\psi(l).$$ En particular podemos transformar el campo gauge a cero y quedarnos sin $A$ pero con una condición de contorno no trivial por encima. Así que si quieres, puedes olvidarte del campo magnético y del campo gauge y pensar en un problema sin carga pero con la condición de contorno "retorcida". Esto debería tener sentido - no hay magnetismo en $d = 1$ por lo que debería ser capaz de básicamente deshacerse de $A$ . La condición límite es el único vestigio que queda.

[1] La estoy llamando transformación gauge pero en el caso físico de un anillo enhebrado por flujo esta transformación gauge no puede extenderse a todo el espacio. Esto se deduce del hecho de que cambia la cantidad de flujo que enhebra el anillo, pero eso es invariante gauge. Sin embargo, el espectro electrónico no sabe que esta transformación no puede extenderse a todo el espacio, por lo que sigue funcionando.

Answer 2

Esto se debe a la hifotesis adiabática: si el procedimiento de inserción de un cuanto de flujo en el sistema es adiabático y el sistema se encuentra en un estado propio del Hamiltoniano $\psi_n$ con energía propia $E_n$ entonces, permanecerá bloqueado en este estado propio (hasta un factor de fase global) durante y al final del proceso.