Prueba $\Delta_X$ es cerrado si X es Hausdorff

Question

Estoy intentando una prueba topológica y creo que mi prueba es correcta pero no estoy seguro al 100%. El problema es el siguiente: Definir $\Delta_X=\{(x,x)\in X\}$ . Demostrar que $X$ es Hausdorff si y sólo si $\Delta_X$ es un conjunto cerrado. La prueba inversa está bien pero para mi prueba de la delantera he intentado lo siguiente.

Supongamos que $\Delta_X$ está cerrado, entonces $D=(\Delta_X)^C$ está abierto. Sea $p_1,p_2\in D$ entonces $p_1 \neq p_2$ . Tomemos una unión de conjuntos abiertos $U=\cup_{\alpha \in A}U_{\alpha}$ tal que $p_1,p_2 \in U$ . Si $p_i \in U_{\alpha_i}$ con $U_{\alpha_1} \cap U_{\alpha_2} = \varnothing$ entonces hemos terminado. Si no, entonces $p_1,p_2$ están contenidas en el mismo conjunto abierto. Escribe este conjunto como unión de conjuntos abiertos tales que $p_1$ y $p_2$ no están contenidas en el mismo conjunto abierto. Por lo tanto, $X$ es Hausdorff.

No estoy seguro de si esto es correcto, pero si no lo es, cualquier comentario sobre dónde está mal y consejos para mejorarlo sería muy apreciado.

Answer 1

Se supone que debes probar que dado $p_1,p_2\in \color{red}{X}$ con $p_1 \neq p_2$ existen conjuntos abiertos disjuntos que contienen $p_1$ y $p_2$ respectivamente. Si $p_1$ y $p_2$ son puntos distintos de $X$ alors $(p_1,p_2)\notin \Delta_X$ . Por tanto, existe un conjunto abierto básico $U \times V$ de $X \times X$ que contiene $(p_1,p_2)$ que es disjunta de $\Delta_X$ . Ahora demuestre que $U$ es disjunta de $V$ .