Verificación de soluciones matriciales y de ecuaciones diferenciales

Question

He dado el siguiente sistema: $$\begin{equation}\mathbf{X'}=\begin{pmatrix}-1 & \frac14\\ 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}\end{equation}$$ Cada variable del sistema es una matriz. Se me da entonces que $\mathbf{X}$ es una matriz de columnas. $$\begin{align}\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}-e^{-\frac{3t}2} \\2e^{-\frac{3t}2}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -1 & \frac14\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{-\frac{3t}2} \\2e^{-\frac{3t}2}\end{pmatrix}\end{align}$$ El ejercicio consiste en comprobar que $\mathbf{X}$ es una solución de este sistema lineal. Me pregunto si mis pasos son correctos en la evaluación del problema que se da a la mano.

Mis pasos

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}\frac32e^{-\frac{3t}2}\\ -3e^{-\frac{3t}{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-\frac{3t}2}+\frac12e^{-\frac{3t}2} \\ -e^{-\frac{3t}2}-2e^{-\frac{3t}2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac32e^{-\frac{3t}2}\\ -3e^{-\frac{3t}{2}}\end{pmatrix}\end{equation}$$ $\because$ el LHS es igual al RHS $\therefore$ la solución propuesta por $\mathbf{X}$ es válido.

Answer 1

Tu solución me parece correcta. $$\begin{align}\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}-e^{-\frac{3t}2} \\2e^{-\frac{3t}2}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-1 & \frac14\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-e^{-\frac{3t}2} \\2e^{-\frac{3t}2}\end{pmatrix}\end{align}$$ También puedes escribirlo así: $$\begin{align}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} \frac{d}{dt}e^{-\frac{3t}2}=&\begin{pmatrix}-1 & \frac14\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}- 1\\2\end{pmatrix}e^{-\frac{3t}2}\end{align}$$ $$\begin{align}-\frac 32\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}-1 & \frac14\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}- 1\\2\end{pmatrix}\end{align}$$ ¡¡Para que sólo tengas matrices con números!!