Sea $A = \{1/2 < |z| < 2\}.$ ¿Existe una función analítica $f$ en $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ para que $Im(f) < −1$ en $∂A$ y $f(1) = 0$ ?

Question

Sea $A = \{1/2 < |z| < 2\}.$ ¿Existe una función analítica $f$ en $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ de modo que la parte imaginaria $Im(f) < 1$ en $A$ y $f(1) = 0$ ? Explique su respuesta.

No estoy seguro de cómo empezar este problema. Estaba pensando que la respuesta es no y que podría utilizar el módulo máximo tal vez?

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Depuis $Im (f)$ es armónico en $A$ satisface allí el principio de máximo. Por lo tanto $Im(f) < -1$ en $\partial A$ implica $Im(f) < -1$ en todos $A$ y $f(1) = 0$ es imposible.