¿Por qué se alcanza la constante log-Sobolev de una cadena de Markov finita?

Question

Estoy leyendo las "Lecture notes on finite Markov Chains" de Saloff-Coste. Define la constante log-Sobolev $\alpha$ de una cadena de Markov finita $(K, \pi)$ [núcleo de transición $K$ medida estacionaria $\pi$ ] por

$$ \alpha(K) = \min \left\{ \frac{\mathcal E(f, f)}{\mathcal L(f)} : \mathcal L(f) \ne 0\right\}$$

donde $\mathcal E(\bullet, \bullet)$ es la forma Dirichlet de $(K, \pi)$ y $\mathcal L(f) = \textrm{E}_\pi |f|^2 \log \frac{|f|^2}{\|f\|_2^2}$ .

Bajo el supuesto de la existencia de una función $u$ que alcanza este mínimo, demuestra que $\alpha > 0$ pero no veo por qué debería existir tal función (ya que el conjunto sobre el que estamos optimizando ni siquiera es cerrado).

[[Pregunto, por qué esto es un min, y no un inf en la definición]].

Gracias.

Answer 1

Un argumento de escala muestra que $$ \alpha(K)=\inf\{\mathcal E(f,f):\mathcal L(f)=1\}. $$ Ahora estás minimizando una función continua sobre un conjunto compacto -- porque el escenario es finito dimensional.