El camino más rápido para $A$ para atrapar $B$

Question

Me preguntaba si hay alguna forma de atacar con la ecuación de Euler-Lagrange el siguiente problema.

Supongamos que $B$ se mueve en línea recta con velocidad costante $\mathbf{u}=u\,\hat{x}$ . ¿Cuál es el camino más rápido para un $A$ que puede moverse con velocidad costante $v>u$ (y velocidad variable $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{e}}$ ), para coger $B$ ? Supongamos que $A(0)=(0,0)$ y $B(0)=(b_1,b_2)$ .

No he progresado mucho. Lo que creo es que, como la velocidad de $A$ es costante, el mejor camino debe ser el de longitud mínima. Sin embargo, el hecho de que $B$ se mueve es bastante desorientador y no sé cómo plantear el problema.

¿Tienes alguna idea?

Answer 1

Puedes hacerlo sin cálculo. Las coordenadas de $B$ sont $(b_1+ut,b_2)$ . Para $A$ para atrapar $B$ debe moverse en línea recta hasta el punto de intercepción. La distancia desde el origen hasta $B$ es $\sqrt{(b_1+ut)^2+b_2^2}$ . Podemos equipararlo a $A$ para obtener $$vt=\sqrt{(b_1+ut)^2+b_2^2}\\v^2t^2=b_1u^2t^2+2b_1ut+b_1^2+b_2^2\\(v^2-b_1^2u^2)t^2-2b_1ut-(b_1^2+b_2^2)=0$$ que puede resolverse para $t$ utilizando la ecuación cuadrática. Luego introduce que $t$ en $B$ y tendrás el punto de intercepción. $A$ debe moverse en línea recta hacia ese punto.