Estoy tomando una clase de nivel introductorio, Física con Cálculo, utilizando el Taller de Física de Priscilla Laws. La guía de actividades me ha pedido que pruebe que:
$$ma\,\mathrm{d}x = mv\,\mathrm{d}v$$
Mi instructor de física me informó que el método correcto para demostrar esto es:
-
Empieza con:
$$ma\,\mathrm{d}x$$
-
Sabiendo eso:
$$a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$
-
Por lo tanto:
$$ma\,\mathrm{d}x = m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x$$
-
Reordena utilizando las leyes de la multiplicación:
$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}x = m\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}v$$
-
Sabiendo eso:
$$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$
-
Por lo tanto:
$$m\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}v = mv\,\mathrm{d}v$$
-
Por lo tanto:
$$ma\,\mathrm{d}x = mv\,\mathrm{d}v$$
Pero todos los matemáticos con los que he hablado están de acuerdo: son matemáticas mágicas. No es una buena práctica, francamente, abuso infinitesimales de esta manera. Y sin embargo, el libro que sugiere que hagamos esto ha estado bajo la atenta mirada de los físicos a nivel nacional durante años -- Seguramente si hacer lo anterior fuera incorrecto, alguien lo habría señalado ya, e insistido en que se eliminara. Según este razonamiento, está claro que lo anterior no es necesariamente equivocado per se, pero está increíblemente claro que hay mucha más complicación matemática bajo el capó que hace posible lo anterior. Mi objetivo aquí es entender por qué, en nombre de la bondad, lo anterior funciona, y qué reglas se han tenido que mantener para asegurar su validez. Esto me lleva a la primera parte de mi pregunta: ¿Por qué funciona lo anterior? ¿Qué podría salir mal usando los métodos utilizados anteriormente? ¿Cómo puedo evitar cometer errores al manipular infinitesimales de esa manera?
Lamentablemente, al ser un estudiante de cálculo de nivel inicial, francamente no estoy equipado para tratar temas como las derivadas parciales, las ecuaciones diferenciales o los infinitesimales/hiperreales. Aun así, me he empeñado en entender, al menos de manera informal, las matemáticas subyacentes a lo anterior. Y el poco "conocimiento" que he acumulado hasta ahora implica algo que me parece inquietante.
Antes de explicar lo que yo, personalmente, veo mal en lo anterior, permítanme definir informalmente lo que yo entiendo por diferenciales, así como una notación más explícita para escribirlas. Estoy seguro de que existe una notación oficial para esto, pero no sé lo suficiente en matemáticas como para utilizar dicha notación.
Cuando tenemos $y = f(x)$ y decir $f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ lo que "realmente" estamos diciendo es esto:
La relación entre el cambio infinitamente pequeño en $y$ en algún conjunto de soluciones $x$ resultante de un cambio infinitamente pequeño en $x$ y el cambio infinitamente pequeño en $x$ en algún lugar $x$ a partir de un cambio infinitamente pequeño en $x$ .
La frase anterior se traduce en notación matemática, literalmente, como
$$\lim_{h\to 0} \biggl[\frac{f(y + h) - f(h)}{x + h - x}\biggr]$$
donde $\mathrm{d}y = \lim_{h\to 0} [f(x + h) - f(x)]$ y $lim_{h\to 0} [dx = (x + h - x)]$ .
Ahora, todo esto está muy bien, hasta que tenemos una relación como:
$$y = xz = f(x, y)$$
De repente $\mathrm{d}y$ podría ser cualquiera: $\mathrm{d}y = (f(x + h, z) - f(x, z))$ o: $\mathrm{d}y = (f(x, z + h) - f(x, z))$
(De hecho, existe una tercera situación en la que $\mathrm{d}y = y + h - y$ si $y$ es lo que estamos tomando la derivada/integral con respecto a).
Con estas ambigüedades bastante tediosas, parece prudente no sólo indicar la variable cuyo cambio estamos observando, sino también indicar qué variable estamos cambiando para crear este cambio. Además, sería bueno que también pudiéramos llevar la cuenta de los valores con los que empiezan todas nuestras variables. Por lo tanto, voy a definir una nueva sintaxis para hacer esto más simple:
si $y = f(x)$ entonces:
$$f'(A.x) = \frac{\mathrm{d}y_{A_x}}{\mathrm{d}x_{A_x}}$$
Donde $A$ es el vector del conjunto de soluciones (que contiene los valores de $x$ y $y$ y, por ejemplo $A.x$ es el $x$ valor contenido en $A$ ) donde comienzan todas nuestras variables, y donde $\mathrm{d}y_{A_x}$ significa:
A partir de los valores contenidos en $A$ y cambiando $x$ por algún infinitesimal $h$ lo que se observa de cambio en $y$ ?
y cuando $\mathrm{d}x_{A_x}$ significa:
A partir de los valores contenidos en $A$ y cambiando $x$ por algún infinitesimal $h$ lo que se observa de cambio en $x$ ?"
Con estas definiciones, vemos que nuestra noción de $f'(x)$ no ha cambiado, simplemente estamos siendo más específicos sobre lo que está cambiando y qué cambios estamos observando.
Ahora, usando esta nueva notación, y tratando de usar la misma prueba que mi instructor de física sugirió, nos encontramos con algunos problemas. Ejecutando los primeros cuatro pasos:
-
Empieza con:
$$ma\,\mathrm{d}x_{A_x}$$
( $\mathrm{d}x_{A_x}$ (a diferencia de, por ejemplo, $\mathrm{d}x_{A_t}$ ) porque originalmente se trataba del $\mathrm{d}x$ de una integral tomada con respecto a $x$ )
-
Sabiendo eso:
$$a = \frac{\mathrm{d}v_{A_t}}{\mathrm{d}t_{A_t}}$$
- Por lo tanto:
$$ma\,\mathrm{d}x_{A_x} = m\frac{\mathrm{d}v_{A_t}}{\mathrm{d}t_{A_t}}\mathrm{d}x$$
- Reordena utilizando las leyes de la multiplicación:
$$m\frac{\mathrm{d}v_{A_t}}{\mathrm{d}t_{A_t}}\mathrm{d}x_{A_x} = m\frac{\mathrm{d}x_{A_x}}{\mathrm{d}t_{A_t}}\mathrm{d}v_{A_t}$$
Terminamos con la expresión $m\frac{\mathrm{d}x_{A_x}}{\mathrm{d}t_{A_t}}\mathrm{d}v_{A_t}$ . Ahora, en el método sugerido por mi instructor de física, normalmente trataríamos de reemplazar $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ (o en este caso, $\frac{\mathrm{d}x_{A_x}}{\mathrm{d}t_{A_t}}$ ) con $v$ -- pero hay un problema:
$$v = \frac{\mathrm{d}x_{A_t}}{\mathrm{d}t_{A_t}}\text{ NOT }\frac{\mathrm{d}x_{A_x}}{\mathrm{d}t_{A_t}}$$
Para que podamos sustituir $\frac{\mathrm{d}x_{A_x}}{\mathrm{d}t_{A_t}}$ con $v$ , $\mathrm{d}x_{A_x}$ tendría que ser igual a $\mathrm{d}x_{A_t}$ ¡! Es una implicación que no estoy seguro de que sea cierta, y esto es lo que me molesta del método prescrito por mi instructor. Esto me lleva a la segunda parte de mi pregunta: ¿Estoy en lo cierto al pensar que el método prescrito por mi instructor es erróneo por esta razón? ¿Son válidos los conceptos que estoy transmitiendo aquí, o hay otra manera de ver esto? ¿Existe un método alternativo que pueda utilizar para demostrar lo mismo, pero que no caiga en estos problemas? ¿Acaso $\mathrm{d}x_{A_x} = \mathrm{d}x_{A_t}$ ? Will $\mathrm{d}x_{A_x}$ SIEMPRE igual $\mathrm{d}x_{A_t}$ por definición, o sólo son iguales en este caso, debido a la naturaleza del movimiento cinemático?
