Equivalencia homotópica a partir de la contractibilidad de la fibra

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son dos $CW$ complejos y $f:X\rightarrow Y$ es una suryección continua tal que la fibra de cada punto (es decir $f^{-1}(y)$ para cada $y\in Y$ ) es contraíble. ¿Implica que $X$ y $Y$ son homotópicamente equivalentes.

PS-1:Por el Teorema de Whitehead bastará con demostrar que $f$ induce un isomorfismo entre todos los grupos homotópicos.

PS-2:En cuestión Cohomología equivariante para acciones con estabilizadores finitos hay alguna discusión respecto a la pregunta anterior pero en términos de homología. Si alguien piensa que mi pregunta puede ser una consecuencia de esta discusión por favor explique la conexión.

Answer 1

En su documento

MR0087106 (19.302f) Smale, Stephen A Vietoris mapping theorem for homotopy. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 604-610.

Smale demostró el siguiente teorema:

Teorema : Sea $X$ y $Y$ sean espacios métricos separables conectados y localmente compactos. Supongamos también que $X$ es localmente contractible. Consideremos un mapa continuo suryectivo adecuado $f : X \rightarrow Y$ . Supongamos que para todo $y \in Y$ el espacio $f^{-1}(y)$ es contractible y localmente contractible. Entonces $f$ es una equivalencia homotópica débil.

Para ver cómo encaja esto en tu situación, recuerda que (por ejemplo) los complejos CW finitos son localmente compactos y localmente contractibles. Así que hay que imponer condiciones a las fibras para asegurarse de que también son localmente contractibles.