Pregunta tipo test sobre $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k = 1}^n \left| e^{\frac{2\pi ik}{n}} − e^{\frac{2\pi i(k-1)}{n}} \right|$

Question

T $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \left| e^{\frac{2\pi ik}{n}} e^{\frac{2\pi i(k-1)}{n}} \right|$$ es

(A) $2$

(B) $2e$

(C) $2\pi$

(D) $2i$ .

No puedo resolver este problema. ¿Tengo que utilizar $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$ ¿o necesito alguna otra fórmula para proceder? No entiendo que es lo que necesito para intercambiar el límite y la suma. Por favor, ayúdame. Esta es una pregunta de opción múltiple de un modelo de examen de ISI MSTAT.

Answer 1

Ruta 1 : Geométricamente, el $n$ raíces de la unidad $e^{2\pi i k/n}$ formar un regular $n$ -gon en el plano complejo $\Bbb C$ por lo que las distancias entre vértices consecutivos $|e^{2\pi ik/n}-e^{2\pi i(k-1)/n}|$ son las longitudes de los lados y la suma es el perímetro del $n$ -que se aproximará al círculo unitario como $n\to\infty$ . ¿Cuál es la circunferencia del círculo unitario? Aquí tienes una ayuda visual con $n=5$ y $n=12$ :

Ruta 2 : Tenemos

$$\sum_{k=1}^n|e^{2\pi ik/n}-e^{2\pi i(k-1)/n}|=\sum_{k=1}^n|e^{2\pi ik/n}||1-e^{-2\pi i/n}| \\[5pt] =n|1-e^{-2\pi i/n}|.$$

El límite de este como $n\to\infty$ puede evaluarse analíticamente invocando una expansión en serie de Taylor de la función exponencial, $e^x\approx 1+x$ comme $x\approx 0$ (formalmente, $e^x=1+x+O(x^2)$ ). Específicamente,

$$\lim_{n\to\infty}n|1-(1-2\pi i/n+\cdots)|=? $$

Answer 2

El segmento de $e^{2\pi i(k-1)/n}$ a $e^{2\pi ik/n}$ es un segmento a lo largo del interior del círculo unitario. La colección de $k=1$ a $k=n$ abarca todo el círculo desde $0$ a $2\pi$ radianes, por lo que la suma de sus longitudes limita con la longitud del círculo de radio $1$ .

El siguiente diagrama es para $n=15$ . Los segmentos rojos se aproximan al arco de $0$ a $2\pi$ radianes; es decir, $e^{0i}$ a $e^{2\pi i}$ :

$\hspace{4.5cm}$