Supuesto de aplicación del método delta

Question

Al demostrar el método delta de distribuciones en mi libro de texto hacemos la siguiente suposición:

Sea $X_{n}$ sea una secuencia de variables aleatorias.

y:

${\sqrt{n}[X_n- c]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,1)}$

Teniendo esto en cuenta se puede demostrar que:

${\sqrt{n}[g(X_n)-g(c)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,[g'(c)]^2)}$

Lo que me cuesta entender es por qué en este caso hay que aplicar el método delta:

${\sqrt{n}[X_n- c]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,1)}$

y no

${\sqrt{n}[X_n- c]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^{2})}$ ?

Normalmente $X_{n}$ es un estimador de un parámetro poblacional y $c$ el parámetro real que se está estimando. Si el estimador es un estimador consistente asintóticamente normal podemos concluir que:

${\frac{\sqrt{n}[X_n- c]}{\sigma}\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,1)}$

¿Sería seguro asumir que aquí $\sigma^{2} = 1$ ¿se supone aquí?

Answer 1

Las dos declaraciones :

$$\left(\sqrt{n}(X_n - c) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, 1)\right) \Longrightarrow \left(\sqrt{n}(g(X_n) - g(c)) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, g'(c)^2)\right) $$ y $$\left(\sqrt{n}(X_n - c) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, \sigma^2)\right) \Longrightarrow \left(\sqrt{n}(g(X_n) - g(c)) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, g'(c)^2\sigma^2)\right) $$ son equivalentes.

La segunda implica claramente la primera (toma $\sigma = 1$ ).

Ahora, supongamos que la primera es cierta, y supongamos que $$\sqrt{n}(X_n - c) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, \sigma^2). $$

Defina $Y_n = \frac{X_n}{\sigma}$ , $c' = \frac{c}{\sigma}$ y $g_1 : t \mapsto g(\sigma t)$ .

Entonces tienes $$\sqrt{n}(Y_n - c') \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, 1),$$ y así $$\sqrt{n}\left(g_1(Y_n) - g_1(c')\right) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, g_1'(c')^2)$$ que da $$\sqrt{n}(g(X_n) - g(c)) \overset{D}{\to}\mathcal{N}(0, g'(c)^2 \sigma^2).$$