Análogo del teorema "pequeño" de Fermat

Question

Sea $p$ sea un primo, y consideremos $$S_p(a)=\sum_{\substack{1\le j\le a-1\\(p-1)\mid j}}\binom{a}{j}\;.$$ Tengo una prueba bastante complicada (15 líneas) de que $S_p(a)\equiv0\pmod{p}$ . Esto debe ser extremadamente clásico: ¿existe una prueba directa sencilla?

Answer 1

Sea $$P(x)=(1+x)^a-1-x^a=\sum_{1 \le j \le a-1} \binom{a}{j}x^j.$$ Trabajar en el campo $F$ donde $|\{\mu \in F: \mu^{p-1}=1\}|=p-1$ (raíces de unidad de orden $p-1$ ), tenemos $$ \frac{1}{p-1}\sum_{\mu^{p-1}=1}P(x \mu) = \sum_{\substack{1 \le j \le a-1\\(p-1)\mid j}} \binom{a}{j}x^j.$$ Ahora especializamos el campo para $\mathbb{F}_p$ y que $x=1$ : $$ -\sum_{\mu \in \mathbb{F}_p^{\times}}P( \mu) = \sum_{\substack{1 \le j \le a-1\\(p-1)\mid j}} \binom{a}{j}.$$ Para concluir, observe que $P(0)=0$ y $|\mathbb{F}_p| = p$ Así que $$\sum_{\mu \in \mathbb{F}_p^{\times}} P(\mu) = \sum_{\mu \in \mathbb{F}_p} P(\mu) = \sum_{\mu \in \mathbb{F}_p} ((1+\mu)^a - \mu^a)=0,$$ porque $\mu\mapsto \mu+1$ es una permutación de $\mathbb{F}_p$ .

---

Una congruencia algo más general se debe a Glaisher (1899), como he encontrado en un estudio de Granville, véase ecuación (11) aquí . La referencia precisa es Glaisher, J. W. L., "A congruence theorem relating to sums of binomial-theorem coefficients", Quart. J. 30, 150-156, 349-360, 361-383 (1899). Véase aquí para la reseña de zbMath en alemán. No hay entrada en MathSciNet.

Concretamente, Glaisher demostró que para cualquier $0 \le j_0 \le p-1$ tenemos $$\sum_{\substack{1 \le j \le a \\ j \equiv j_0 \bmod (p-1)}} \binom{a}{j} \equiv \binom{k}{j_0} \bmod p$$ donde $k$ es cualquier número entero positivo con $k \equiv a \bmod p$ Aplicando esto con $j_0=0$ y $k=a$ y observando que el término $j=a$ contribuye $1 \bmod p$ , tu resultado es el siguiente. Haciendo clic en la ecuación (11) del enlace anterior se llega a un prueba detallada que utiliza el teorema de Lucas.

Answer 2

Aquí hay una prueba directa, usando funciones generadoras, aunque no es tan elegante como la de Ofir. Tenemos $$ \sum_{a=0}^\infty\binom{a}{j}x^a =\frac{x^j}{(1-x)^{j+1}}. $$ Configuración $j=(p-1)k$ y sumando en $k$ da $$ \sum_{a=0}^\infty x^a \sum_{p-1\mid j}\binom{a}{j} = \frac{(1-x)^{p-1}}{(1-x)^p -x^{p-1}(1-x)}. $$ Restamos $\sum_{a=0}^\infty x^a \binom{a}{0} = 1/(1-x)$ y $$\sum_{\substack{p-1\mid a\\ a>0}}x^a\binom{a}{a} = \frac{x^{p-1}}{1-x^{p-1}}$$ para obtener $$ \sum_{a=0}^\infty S_p(a) x^a = \frac{(1-x)^{p-1}}{(1-x)^p -x^{p-1}(1-x)} -\frac{1}{1-x} -\frac{x^{p-1}}{1-x^{p-1}}. $$ Módulo $p$ podemos sustituir $(1-x)^{p-1}$ con $(1-x^p)/(1-x)$ y $(1-x)^p$ con $1-x^p$ , obteniendo \begin{align*} \sum_{a=0}^\infty S_p(a) x^a &\equiv \frac{(1-x^p)/(1-x)}{1-x^p -x^{p-1}(1-x)} -\frac{1}{1-x} -\frac{x^{p-1}}{1-x^{p-1}}\pmod{p}\\ &=0. \end{align*}

Answer 3

En realidad, en mi artículo se ofrecía una ampliación adicional Congruencias combinatorias y números de Stirling [Acta Arith. 126 (2007), 387-398]. Ahora expongo el Corolario 1.3 (una consecuencia del Teorema 1.1) en mi artículo de 2007.

Sea $p$ sea un primo. Si $l,l',m$ son enteros positivos con $l'\ge l>m/p$ y $l'\equiv l\pmod {(p-1)p^{\lfloor\log_p m\rfloor}}$ entonces $$\sum_{j\equiv r\pmod {p-1}}\binom{l'}j S(j,m) \equiv\sum_{j\equiv r\pmod {p-1}}\binom{l}j S(j,m)\pmod p,$$ donde $S(j,m)$ denota el número de Stirling del segundo tipo.

En el caso $m=1$ se obtiene el resultado de Glaisher.