Entender la ecuación de una banda de Möbius

Question

Estoy en Matemáticas HL y tratando de terminar mi IA. Mi tema es la banda de Möbius. El único problema es que no entiendo la fórmula que la define y en todos los sitios en los que he buscado me han dado una explicación llena de jerga matemática de ecuaciones paramétricas que me confunden. ¿Hay alguien que pueda explicar cómo se obtienen las ecuaciones o qué significan literalmente? Sería de gran ayuda. Gracias

Answer 1

Hmmm. Quieres una ecuación, pero tengo que no usar "jerga matemática". Y quieres que te explique cómo derivarlas, pero presumiblemente no puedo usar palabras como "paramétrico". Esto supone un reto.

Voy a empezar con un círculo en el $xy$ -de un espacio de 3. Hay dos maneras de describirlo: $$ x^2 + y^2 = 1 \text{ and } z = 0, $$ o $$ t \mapsto (\cos t, \sin t, 0) \text{, where $ t $ ranges from $ 0 $ to $ 2 \pi $}. $$

El primero de ellos se llama "la forma implícita", porque no hay manera, sólo mirando, para producir un punto $(x, y, z)$ que satisfaga ambas ecuaciones. (Sí, está claro que $z$ tiene que ser $0$ . Y si luego intentas $x = 0$ , se puede adivinar que $y = 1$ y $y= -1$ trabajo. Pero, ¿y si el $xy$ parte de la ecuación había sido en algún momento como $13x^2 - 11xy + 13 x + 2y - 3y^2 = -2$ ? Entonces estarías en un aprieto. Así que este tipo de descripción de una forma se llama "implícita" porque sólo te permite probar si un punto es parte de la forma o no, pero no produce explícitamente ningún punto).

La segunda se llama "forma paramétrica", porque hay un "parámetro" ( $t$ ) que puedes variar para generar puntos en la forma. Como $t$ se varía de $0$ a $2 \pi$ , generas cada punto de la curva. En muchas situaciones, este tipo de descripción es preferible, aunque también hay casos en los que la descripción implícita es mejor. En matemáticas utilizamos ambas. La forma paramétrica tiene una desventaja: a veces dos valores de parámetros diferentes (como $t = 0$ y $t = 2\pi$ ) corresponden al mismo lugar de la forma. Hay una razón para ello: el intervalo $[0, 2\pi]$ es una forma fundamentalmente diferente de un círculo. Por eso, no hay una forma "bonita" de enviar puntos del intervalo a puntos del círculo y viceversa y que el mapeo sea una correspondencia uno a uno. (Esto es difícil de demostrar a fondo, pero es cierto).

¿Y qué pasa con las superficies? Pues bien, para ellas necesitamos dos parámetros, como "latitud" y "longitud", para describir cada punto de la superficie. Una vez más, tendremos el problema de la "colisión de parámetros". En la Tierra, por ejemplo, las longitudes 180W y 180E corresponden ambas a puntos de la línea internacional de datos, y cuando se observan pares de longitudes y latitudes donde la latitud es 90N, todos posible longitudes corresponden al mismo punto: el Polo Norte.

Lo primero que voy a hacer es describir un cilindro utilizando dos parámetros. Una vez más, $t$ nos dirá dónde estamos en la dirección "alrededor del círculo", pero usaré un nuevo parámetro, $s$ para decir lo alto que estamos en el cilindro. (En este ejemplo, el cilindro está alineado como una lata de judías sentada en una mesa): $$ (t, s) \mapsto (\cos t, \sin t, s) \text{, where $ 0 \le t \le 2\pi $ and $ -1 \le s \le 1 $}. $$ He cortado $s$ en $-1$ y $1$ para hacer un cilindro de altura 2.

A grandes rasgos, en cada punto del círculo unitario, variando $s$ Puedo subir y bajar en el $z$ -dirección.

Para una tira de Mobius, también quieres moverte "perpendicularmente al círculo central", pero no quieres moverte siempre hacia arriba y hacia abajo; quieres moverte en una dirección "inclinada". Así que voy a reescribir lo que escribí anteriormente para el cilindro en una nueva forma:

$$ (t, s) \mapsto (\cos t, \sin t, 0) + s (0, 0, 1) \text{, where $ 0 \le t \le 2\pi $ and $ -1 \le s \le 1 $}. $$ En esa forma, puedes ver que estamos empezando en un punto del círculo, y añadiendo a él un desplazamiento en la dirección $(0, 0, 1)$ , con la cantidad de desplazamiento que se gobierna por $s$ .

Para hacer una banda de Mobius, tenemos que cambiar esa dirección de desplazamiento por una que gire a medida que nos movemos alrededor del círculo. Es decir, queremos escribir

$$ (t, s) \mapsto (\cos t, \sin t, 0) + s v(t) \text{, where $ 0 \le t \le 2\pi $ and $ -1 \le s \le 1 $}. $$

donde $v(t)$ es una dirección que cambia cuando variamos $t$ . En $t = 0$ Queremos que apunte hacia arriba. Para cuando lleguemos a $t = \pi$ queremos que apunte al $(-1, 0, 0)$ dirección. Y para cuando lleguemos a $t = 2\pi$ Queremos que apunte hacia abajo.

Para construir $v(t)$ voy a combinar la dirección directa, $(0, 0, 1)$ con el "apuntando hacia afuera en el $xy$ -dirección del plano", $(\cos t, \sin t, 0)$ de una manera que varía en función de $t$ . Aquí va:

$$ v(t) = \cos(t/2) (0, 0, 1) + \sin(t/2) (\cos t, \sin t, 0). $$

El motivo de la $t/2$ es que como $t$ oscila entre $0$ a $2\pi$ Quería que el ángulo al que apuntaba el rayo girara sólo medio un giro. Combinando todo eso, la descripción paramétrica final es

\begin{align} (t, s) &\mapsto (\cos t, \sin t, 0) + s (\cos(t/2) (0, 0, 1) + \sin(t/2) (\cos t, \sin t, 0))\\ &= (\cos t, \sin t, 0) + (0, 0, s\cos(t/2) ) + (s\sin(t/2)\cos t,s \sin(t/2)\sin t, 0)\\ &= (\cos t + s\sin(t/2)\cos t, \sin t + s \sin(t/2)\sin t, s\cos(t/2) ). \end{align}

Espero que le sirva de ayuda.

Por cierto, estoy totalmente de acuerdo con Daniel Rust en que la descripción de la banda como "tira con bordes identificados" es más útil en casi todos los contextos. Pero a veces también está bien poder escribir las cosas de forma explícita.

Answer 2

Permítanme explicar dos formas de derivar las ecuaciones paramétricas:

1. Transformaciones de coordenadas:

Piensa que estás en un parque de atracciones y que estás representado por un palo que gira con respecto a 2 ejes al mismo tiempo. Con respecto al gran palo en el centro de la máquina giratoria, y con respecto a un centro unido a la cesta que te sostiene. La rotación horizontal se mueve a una velocidad angular $\omega$ y la rotación del plano vertical (su cesta) ajustada a una velocidad diferente $\omega/2$ . Si tomamos instantáneas y las juntamos observaremos observaremos algo parecido a lo que se dibuja en la Figura 1 de abajo.

Tomamos muestras de la circunferencia cada 10 grados. Si en lugar de muestrear la circunferencia pasamos los palos por una trayectoria continua, tendríamos tendríamos una recreación de la tira de Mobius de "media" torsión. Decimos "media" porque el giro de los palos es el de 180 grados. Vamos a generalizar el concepto de segmento giratorio para un concepto de trayectoria general f (x, 0, z) en el plano vertical y a partir de ella calcularemos la de Mobius, pero con este método se pueden calcular muchos sólidos tipo Mobius método, con varias formas de sección transversal y cualquier giro múltiple de $\pi$ .

Más en general: Consideramos una curva en el plano vertical $(x,0,z)$ dada por una ecuación implícita $f(x,y,z)=0$ o mejor, por ecuaciones paramétricas

\begin{eqnarray} x = x(s) \quad , \quad y = y(s) \quad \text{and} \quad z = z(s). \end{eqnarray} y queremos aplicar las siguientes transformaciones a esta curva:

• Gira la curva un ángulo $t/2$ en el plano vertical $(x,0,z)$ .

• Desplazar el origen a lo largo del $x$ eje por una distancia $R > 0$ .

• Gira la curva un ángulo $t$ en el plano horizontal $(x,y,0)$ .

La figura siguiente lo ilustra:

Inicialmente comenzamos con la función paramétrica $x'=x'(s), y'=y'(s):=0$ y $z'=z'(s)$ como un bucle alrededor del origen (color gris). Rellenamos el interior del bucle con fines de visualización pero nos interesa exclusivamente lo que ocurre en el límite que es la función paramétrica anterior. Si se tiene en cuenta el interior de la curva, encontraremos cuerpos de Mobius "sólidos" en su lugar.

Estos son los pasos de la figura:

• Rotar la curva gris en un ángulo $t/2$ con respecto a el $y$ eje y obtener la curva púrpura.

• Traslada la curva púrpura (que estará siempre en un plano vertical) $(x,0,z)$ por una distancia $R$ A lo largo de la $x$ y obtener la curva verde.

• Gire la curva verde alrededor del $z$ eje por un ángulo $t$ y obtener la curva rosa.

Matemáticamente escribimos los tres pasos como sigue:

• Girar en un ángulo $t/2$ sobre el $y$ eje \begin{eqnarray} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \N - derecha ) \mapsto \izquierda ( \begin{array}{ccc} \cos t/2 & 0 & -\sin t/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin t/2 & 0 & \cos t/2 \end{array} | derecha ) \a la izquierda ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \N - derecha ) \N - Fin.

• Traducir por $(R,0,0)$

  \begin{eqnarray} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \N - derecha ) \mapsto + \left ( \begin{array}{c} R \\ 0 \\ 0 \end{array} \N - derecha ) \N - Fin.

• Girar en un ángulo $t$ sobre el $z$ eje

  \begin{eqnarray} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \N - derecha ) \mapsto \izquierda ( \begin{array}{ccc} \cos t & -\sin t & 0 \\ \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | derecha ) \a la izquierda ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \N - derecha ) \N - Fin.

Los tres pasos aplicados conjuntamente producen \begin{eqnarray} \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{ccc} \cos t & -\sin t & 0 \\ \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \N-derecha ) \N - Izquierda [ \left ( \begin{array}{c} R \\ 0 \\ 0 \end{array} |right ) + \left ( \begin{array}{ccc} \cos t/2 & 0 & -\sin t/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin t/2 & 0 & \cos t/2 \end{array} | derecha ) \a la izquierda ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} |right ) \right ] \N - Fin.

La expansión de esta expresión produce las siguientes ecuaciones: \begin{eqnarray} x &=& \cos t \left ( R - \sin \frac{t}{2} z' + \cos \frac{t}{2} x' \right ) - \sin t y' \\ y &=& \sin t \left ( R - \sin \frac{t}{2} z' + \cos \frac{t}{2} x' \right ) + \cos t y' \quad \quad (1) \\ z &=& \cos \frac{t}{2} z' + \sin \frac{t}{2} x' \end{eqnarray}

Para el caso de una banda de M\"{o}bius podemos partir de un segmento parametrizado por \begin{eqnarray} x' = s \\ y' = 0 \\ z' = 0 \end{eqnarray} donde $s \in [w/2,w/2]$ y $w/2 < R$ . Si $w/2 \ge R$ la superficie tendrá auto-intersecciones. En particular, sustituyendo esto en las ecuaciones (1) encontramos

\begin{eqnarray} x &=& \cos t \left ( R + \cos \frac{t}{2} s \right ) \\ y &=& \sin t \left ( R + \cos \frac{t}{2} s \right ) \quad \quad (1.2) \\ z &=& \sin \frac{t}{2} s \end{eqnarray} que es la ecuación paramétrica de la banda de Mobius.

Es interesante que:

• Si en lugar del ángulo polar a ser $t/2$ elegimos $n t/2$ podemos tener tantos "medios" giros como queramos eligiendo $n=1,2, \cdots$ .
• Si queremos un colector 1D (una curva de Mobius) sólo tenemos que fijar $s$ . Por lo tanto, el borde de la banda de Mobius viene dado por la ecuación anterior para $s=w/2$ como una ecuación paramétrica sólo en $t$ . Por supuesto $s=0$ produce el círculo de apoyo (base).
• Podemos generar Múltiples 3D eligiendo una trayectoria inicial que no sea un segmento. Por ejemplo $x'=a \cos s, \quad y'=0, \quad z'=b \sin s$ (una elipse). Si $a=b$ encontramos un toroide de sección circular. Un toro retorcido con $a=b$ y con cualquier $n=0,1,2,\cdots$ es un toroide de todos modos, ya que un círculo es invariante bajo la rotación. Yo elegiría $n=0$ En el caso de un toro, si dejamos que $R \to 0$ pasamos de un toroide a un dullo y terminamos en una esfera en $R=0$ . Si $a >> b$ entonces podemos ver cuerpos de Mobius en 3D que se asemejan a la banda de Mobius. Si $a > b$ y $n=0$ encontramos un toro con sección elíptica.

• Si el ángulo polar $t/2$ se fija en 0, y la curva generadora un segmento (como en la banda de Mobius) obtenemos un anillo plano horizontalmente colocado sobre una superficie plana. Si $t/2$ se fija en $\pi/2$ y la curva generadora un segmento (como en la banda de Mobius) entonces tenemos un cilindro. Si el ángulo polar $t/2$ se fija en otro valor $\theta$ , nos encontramos con una forma cónica. Esta forma cónica se convierte en un cono si $R \sin \theta = w/2$ . Después de eso (más grande $w$ valores) se cruza en un cono invertido.

  2. Superficies de la regla:

Un enfoque diferente de este problema es el uso de https://en.wikipedia.org/wiki/Ruled_surface } Superficies de la regla.

Vuelve a mirar la primera figura de arriba (con los palos giratorios). Esto sugiere que la banda de Mobius puede ser generada como una colección de segmentos definidos por la ecuación:

\begin{eqnarray} \Sigma(s,t) = p(t) + s u(t). \quad \quad (2) \end{eqnarray}

Aquí $u$ es un vector unitario que apunta en la dirección del segmento. En el caso de una banda de Mobius tenemos que el vector $u(t)$ está dada por las coordenadas polares-esféricas \begin{equation} u(t) = (\cos \frac{t}{2} \cos t, \cos \frac{t}{2} \sin t, \sin \frac{t}{2}) \end{equation} y $p(t)$ es el punto situado en el origen del segmento (en este caso en el centro del mismo). Los puntos $p(t)$ están sentados en una curva llamada curva de directriz que en el caso de la banda de M\"{o}bius es un círculo con radio $R$ . Para el caso de la banda de Mobius tenemos que \begin{equation} p(t) = (R \cos t, R \sin t, 0). \end{equation} Por sustitución de los vectores origen y dirección en la superficie (2) llegamos a las mismas ecuaciones paramétricas(1.2) para la banda de Mobius. Los segmentos rectos con direcciones $u(t)$ se llaman generadores de la superficie. Mientras que algunas superficies pueden tener múltiples generadores, la banda de Mobius sólo tiene un generador, por lo que se denomina superficie de la regla única.

El resultado se muestra en la siguiente figura:

Nota : Utilicé https://www.sharelatex.com/learn/TikZ_package para dibujar las tres figuras de este post. Deseo proporcionar el código tikz de alguna o todas ellas a quien lo desee.