¿Qué es este conjunto? Me cuesta entender la notación. ¿Se trata de tomar primero todas las intersecciones y luego todas las uniones? ¿Qué es eso? $j$ ? No veo $j$ como subíndice de $A$ .
$$\bigcup_{i=1}^\infty \bigcap_{j\ge i}^\infty A_i$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Voy a suponer que debe decir
$$\bigcup_{i\ge 1}\bigcap_{j\ge 1}A_j\;.$$
Funciona igual que una suma doble: para cada valor del índice exterior $i$ calculamos la intersección interna. Para cada $i\in\Bbb Z^+$ deje
$$B_i=\bigcap_{j\ge i}A_j\;;$$
este es el conjunto de cosas que hay en cada $A_j$ con $j\ge i$ . Observe que $B_1\subseteq B_2\subseteq B_3\subseteq\ldots\;$ : si hay algo en cada $A_j$ con $J\ge i$ , está ciertamente en cada $A_j$ con $j\ge i+1$ . Luego tomamos la unión de esta familia creciente de conjuntos:
$$\bigcup_{i\ge 1}\bigcap_{j\ge 1}A_j=\bigcup_{i\ge 1}B_i\;,$$
el conjunto de cosas que están en al menos uno de los conjuntos $B_i$ .
Añadido: Por ejemplo, $S$ sea el conjunto de todas las secuencias infinitas de ceros y unos. sea $A_j$ sea el conjunto de secuencias infinitas $\langle b_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\in S$ tal que $b_j=0$ . Entonces para cualquier $i\in\Bbb Z^+$ , $B_i$ es el conjunto de secuencias $\langle b_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\in S$ tal que $b_n=0$ para cada $n\ge i$ . Una secuencia $\langle b_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\in S$ pertenece a
$$\bigcup_{i\ge 1}\bigcap_{j\ge 1}A_j=\bigcup_{i\ge 1}B_i\tag{1}$$
si y sólo si existe algún $i\in\Bbb Z^+$ tal que $b_n=0$ para cada $n\ge i$ por lo que el conjunto en $(1)$ es el conjunto de secuencias que son $0$ a partir de cierto punto: sólo tienen un número finito de unos.
Henry W
Puntos
1808
Esto se conoce como el límite mínimo de $A_j$ :
$$\liminf_{j \to \infty} A_j = \{x\mid \forall^\infty (j \mid x \in A_j)\} = \bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{j=m}^\infty A_j$$ donde $\forall^\infty$ significa "para todos ... excepto finitamente muchos". Del mismo modo tenemos supremum límite:
$$\limsup_{j \to \infty} A_j = \{x\mid \exists^\infty (j, x \in A_j)\} = \bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{j=m}^\infty A_j$$ y $\exists^\infty$ significa "existen infinitamente muchos..."
