Cómo se llama esta propiedad de una función

Question

Estoy tratando de encontrar la palabra correcta para describir un concepto:

En geometría computacional, existe el concepto de polígono "monótono" con respecto a una línea. Esto significa que el polígono interseca la línea y todas las líneas paralelas a ella en dos lugares como máximo. Quiero encontrar el concepto equivalente para las funciones de valor real. Es decir, quiero una propiedad que describa una función que interseca una línea dada y las líneas paralelas a ella (en este caso me interesan las líneas de la forma $f(x) = c$ para todos los valores de $c$ (es decir, líneas horizontales) en un máximo de dos lugares.

El análogo obvio, las funciones monótonas, no es lo que quiero en absoluto, ya que limita la primera derivada a tener siempre el mismo signo, e incluso permite que sea plana durante un tiempo.

El ejemplo más sofisticado que se me ocurre: $\sin(x)$ en el intervalo $[0, 2\pi)$ . Si el intervalo se incrementara en cualquier dirección, existiría una línea horizontal que intersectara la función en 3 lugares. Pero si se limita a sólo $[0, 2\pi)$ , $\sin(x)$ sólo cruza cualquier línea horizontal dos veces o menos. A partir de este ejemplo, no parece haber ninguna regla que se pueda imponer a la primera o segunda (o superior) derivada, que era mi pensamiento inicial.

Motivación: Estoy pensando que es posible descomponer una función oscilante (pero no necesariamente periódica) en trozos como éste para ayudar a los buscadores de raíces numéricas: $f(x)=\sin(x)+c$ (para todos los $c$ ) evaluado en todos los intervalos posibles exactamente $2 \pi$ amplia tendrá esta propiedad. Así que si se rompe $\sin(x)+c$ a $2\pi$ de tamaño, sabes que cada trozo tiene como máximo dos raíces. Los intervalos más pequeños (por muy pequeños que sean) pueden seguir teniendo hasta dos raíces, por lo que $2\pi$ es el mayor intervalo que aún garantiza esta propiedad.

Answer 1

Bien, si lo que te interesa específicamente son las líneas horizontales, entonces si la función intersectara cada línea horizontal exactamente dos veces, sería una función "dos a uno" (es decir, para cada $y$ hay dos valores distintos de $x$ con $f(x) = y$ ). No estoy seguro de si existe un buen nombre para las funciones "a lo sumo dos a uno".

En cuanto a las condiciones de las derivadas: suponiendo que tu función sea diferenciable, seguramente sólo quieres que la primera derivada (es decir, la pendiente) cambie de signo como máximo una vez en cualquier "trozo".

Answer 2

Si una función de valor real $f$ es "cuasi-convexo", entonces el conjunto $\{x: f(x) \le c\}$ es convexo para cada $c$ y, por tanto, es un intervalo. De manera similar, $f$ se dice que es "cuasicóncava" si el conjunto $\{x: f(x) \ge c\}$ es convexo para cada $c$ . En conjunto, creo que estas dos clases de funciones se acercan bastante a lo que quieres. En geometría computacional, también se podría definir que un polígono es monótono si su intersección con cada línea es un intervalo.

Nótese que las funciones cuasi-convexas no son necesariamente continuas. Por lo tanto, si desea una correspondencia más estrecha con los polígonos, es posible que desee centrarse en las funciones que son a la vez cuasiconvexas (o cuasicóncavas) y continuas.