Subgrupos de Borel contenidos en un subgrupo parabólico fijo

Question

La pregunta se plantea en el contexto de los grupos reductores (conectados).

En el artículo en el que estoy trabajando, el autor afirma lo siguiente (bueno no es palabra exacta, lo he simplificado un poco) :

Si elegimos un subgrupo parabólico, determinado por una reflexión simple $s$ en $W$ (el grupo de Weyl, dado un toro maximal), entonces la variedad de los subgrupos de Borel contenidos en $P$ es unidimensional, con la línea proyectiva.

¿Hay alguna forma sencilla de demostrarlo?

Lo que intenté : ya que el subgrupo parabólico $P$ está determinada por una simple reflexión, escribí la descomposición de Levi usando raíces, entonces estuve pensando que los subgrupos de Borel contenidos en $P$ están en biyección con los subgrupos de Borel del complemento de Levi.

Answer 1

Hay cierta confusión en el planteamiento de la pregunta. Hay que empezar con un subgrupo de Borel fijo $B$ para hablar de una reflexión "simple" en el grupo de Weyl. Entonces existe un subgrupo parabólico "mínimo" único $P \supset B$ correspondiente a la raíz simple/reflexión especificada. Esta a su vez tiene un subgrupo de Levi de rango 1, mientras que $P/B$ es naturalmente isomorfa a la recta proyectiva. Por supuesto, $P$ contiene muchos otros subgrupos de Borel además de $B$ pero ahora el problema se ha desplazado. Todos estos Borels contienen el radical de $P$ . así que después de factorizar eso sólo estás viendo la variedad bandera de un grupo de rango 1 que es la copia deseada de la línea proyectiva.