Suma de integrales y $L^{p}$ Espacios

Question

Sea $(X,\mathfrak{M},\mu)$ sea un espacio de medidas finito y sea $\{f_{n}\}$ sea una sucesión de funciones medibles de valor real sobre $X$ . Supongamos que

1. $F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ existe para casi todos los $x\in X$ ;
2. $G(x)=\sum_{n=1}^{\infty}|f_{n}(x)|$ pertenece a $L^{p}(\mu)$ para algunos $p\geq 1$ .

Verdadero o falso: $F\in L^{1}(\mu)$ y $\int_{X}F~d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{X}f_{n}~d\mu$ ?

Creo que el problema es cierto, ya que $G$ pertenece a algún $L^{p}$ espacio. Y las funciones suelen comportarse bien en espacios de medidas finitas. Sin embargo, no estoy seguro de si esto es correcto, y si lo es no estoy seguro de cómo demostrarlo si lo es. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Sea $F_N\colon x\mapsto \sum_{n=1}^Nf_n(x)$ y $g_N\colon x\mapsto \sum_{n=1}^N\left\lvert f_n(x)\right\rvert$ . Por el teorema de convergencia monótona, $g_N\to g$ en $\mathbb L^1$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}\left\lVert f_n\right\rVert_1$ es finita por lo que podemos aplicar el teorema de convergencia dominada a la secuencia $\left(F_N\right)_{N\geqslant 1}$ .