Los comentarios sugieren que tus elecciones notacionales pueden estar oscureciendo la pregunta, que yo y otros hemos encontrado difícil de desenredar. Si se formulase con más precisión, la pregunta podría responderse por sí sola.
Hay algunas variaciones de notación y terminología en la literatura, ya que los grupos trenzados de tipo Lie se tratan de forma un poco diferente en cada uno de los libros de Carter de 1972 y 1985, así como en el trabajo de Steinberg, etc. El punto principal aquí parece ser que para un grupo de Chevalley dado con grupo de Weyl $W$ puede tener un subgrupo $W^F$ de $W$ que consiste en puntos fijos bajo un mapa de tipo Frobenius que implica una simetría del grafo de Coxeter como en los tipos $A_n$ pour $n \geq 2$ , $D_n, E_6$ . (Hay versiones más elaboradas que llevan a los grupos Suzuki y Ree.) Aquí $W^F$ es de nuevo un grupo Coxeter finito, aunque posiblemente no cristalográfico. Así pues, la teoría básica de los grupos de reflexión se aplica a $W^F$ y sus subgrupos parabólicos. Pero esto no implica encontrar representantes de coxet para $W^F$ en $W$ . Para aclarar estas cuestiones ayudaría centrarse más en casos concretos, lo que en algún momento hay que hacer de todos modos en el estudio de estos grupos finitos.
[AÑADIDO] Vale la pena subrayar que los generadores Coxeter de $W^F$ no necesitan ser reflejos en $W$ (aunque son involuciones), por lo que $W^F$ no será un "subgrupo de reflexión" de $W$ . En particular, las funciones de longitud de estos dos grupos Coxeter no son directamente comparables.
