3 votos

Desafiante problema de magnetostática: el "punto ciego" de un dipolo magnético

Estoy repasando para un examen de electromag y me he topado con un problema muy difícil de resolver. Aquí está:

Un pequeño dipolo magnético con momento $\vec m = m_o \hat z$ se encuentra en una región con campo magnético uniforme $\vec B = B_o \hat z $ . Demuestre que existe una esfera en la que el campo magnético neto es cero. ¿Cuál es el radio de la esfera?

Esa cierta esfera es lo que yo llamo el "punto ciego" de un dipolo magnético. Es la primera vez que me encuentro con algo así. Creo que se trata de una esfera con sus hemisferios a ambos lados del plano x-y. ¿Por qué? No estoy muy seguro, pero mi argumento es que los campos se cancelan desde ambos lados de la semiesfera ya que las líneas de campo en las proximidades del dipolo apuntan a lo largo de su dirección (se puede ver en los esquemas habituales de las líneas de campo de un dipolo, es decir, una barra magnética)

Tampoco creo que el dipolo esté centrado, ni siquiera dentro de esa esfera.

Sin embargo, el cálculo real es realmente complicado. He experimentado con el uso del potencial escalar $$\Delta \phi_m = 0 $$ pero el análisis geométrico me está matando.

Estoy un poco atascado, así que..... ¿hay alguien por ahí dispuesto a ayudarme? Incluso sólo un esbozo de lo que hay que hacer será de gran ayuda. ¡¡¡Muchas gracias!!!

2voto

Doug Puntos 1

Como ya han señalado otras respuestas, no existe tal región esférica. La dirección campo producido por el dipolo magnético vendrá dada por $$\mathbf{B}_d(r,\theta)=\frac{\mu_0m_0}{4\pi}\frac{3\hat{\mathbf{r}}\cos\theta-\hat{\mathbf{z}}}{r^3}$$ Así, sumando ambos campos, no podemos hacerlo nulo para toda una superficie esférica, lo que en coordenadas esféricas significa fijo $r$ ya que el componente $z$ dirección será constante pero la radial es $\theta$ dependiente. Lo que se puede hacer, como @mcodesmart publicado es conseguir un flujo cero en una esfera. En este caso, el campo radial será cero. Para ello debemos tener $$\frac{\mu_0m_0}{4\pi}\frac{3\cos\theta-\cos\theta}{r^3}+B_0\cos \theta=0\implies\\ r=\left(-\frac{\mu_0m_0}{2\pi B_0}\right)^{1/3}$$ lo que demuestra que el campo uniforme debe estar orientado en el sentido opuesto al dipolo.

1voto

Mike Puntos 33

Después de ver el buen comentario de mcodesmart y la útil respuesta de Mateus Sampaio la pregunta debería ser o bien buscar....

  • círculo con campo magnético cero

o

  • esfera por la que no pasa ningún flujo

mi respuesta original

Esa pregunta no tiene sentido para mí - lo entendería si se preguntara por una región circular donde el campo magnético es cero. - Tener una esfera con campo magnético cero implica que la suma de los dos campos magnéticos es cero en todos los puntos del interior (o de la superficie) de una esfera. Como el campo magnético uniforme es uniforme y paralelo significa que el pequeño dipolo debe generar una esfera de campo magnético uniforme exactamente en la dirección opuesta, lo que seguramente no puede - Sin embargo, puede generar un círculo de campo magnético exactamente en la dirección opuesta de igual magnitud a una distancia $r$ desde el centro del dipolo en el $xy$ plano. El reto entonces sería encontrar $r$ en términos de $m$ y $B$ .

Creo que la pregunta debe referirse a un círculo porque el dipolo está alineado con el campo uniforme - ambos van en el $z$ por lo que las líneas de campo magnético del dipolo sólo estar en el $-z$ (negativo) $z$ ) y capaz de anularlo en la dirección este $xy$ plancia que incluye el centro del dipolo.

enter image description here

En esta imagen de wikipedia el dipolo está en la dirección +ve z y en la plancia xy centrada en el dipolo hay campo magnético debido al dipolo en sentido contrario $-z$ dirección.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X