¿Por qué la tensión sobre un cuerpo no es un vector?

Question

En mi libro de texto, Física, Parte II-Libro de texto para la Clase XI hay una línea que habla de por qué el estrés no es un vector:

La tensión no es una magnitud vectorial ya que, a diferencia de una fuerza, a la tensión no se le puede asignar una dirección específica. La fuerza que actúa sobre la porción de un cuerpo en un lado determinado de una sección tiene una dirección definida.

No explica por qué no se puede asignar al estrés una dirección específica. Sé que la tensión en un cuerpo es la fuerza restauradora (aplicable cuando el cuerpo se deforma) por unidad de superficie. ¿Tiene algo que ver con el hecho de que la propia área sea un vector? Además, a menudo decimos que la tensión de tracción (o compresión) se aplica perpendicularmente a la superficie. Eso es especificar la dirección, ¿no?

Una explicación intuitiva (en lugar de una matemática rigurosa) es muy apreciada.

Answer 1

Dibuja un cuadrado en una tira de elastómero y estírala:

"OK, entiendo esto:"

La carga longitudinal (compuesta por dos vectores de fuerza, hacia la izquierda y hacia la derecha) aplica un estado de tensión sobre la forma. ¿Qué tipo de tensión?

"Asumiré que el estado de tensión puede expresarse como un vector. Supongo que el vector corresponde a las tensiones normales a la izquierda y a la derecha (es decir, las fuerzas que actúan perpendicularmente a los lados izquierdo y derecho). Esto es coherente con las tensiones normales que cambian las longitudes de los lados de los elementos infinitesimales. Supongo que llamaré al vector [1 0 0], donde he normalizado por la magnitud de la carga".

Ahora considere la posibilidad de dibujar no un cuadrado, sino un rombo, para la misma carga.

"OK, ahora entiendo esto:"

¿Qué es el estado de estrés?

"Ahora incluye algunos esfuerzos cortantes, ya que los ángulos interiores ahora están cambiando. Efectivamente, algunas fuerzas en los lados son ahora paralelas en lugar de únicamente perpendiculares. El vector [1 0 0] no captura este cambio, ni puedo transformarlo rotacionalmente para escalarlo con [1 1 0] o [1 -1 0], digamos, porque el diamante tampoco se deforma de esa manera; se estira más a la izquierda y a la derecha de lo que se encoge hacia arriba y hacia abajo. Hmm.

"A la naturaleza le da igual cómo dibujemos nuestros sistemas de coordenadas, así que necesitamos una representación matemática que se transforme correctamente. Tengo que concluir que un vector es incapaz de representar la tensión. Sin embargo, un tensor funcionaría:

$$\left[\begin{array}{ccc} 1 &0 &0\\0& 0& 0\\0& 0 &0\end{array}\right]$$

se transformaría con una rotación de 45° en

$$\left[\begin{array}{ccc} 1/2 &1/2 &0\\1/2& 1/2& 0\\0& 0 &0\end{array}\right],$$

lo que concuerda con la deformación observada del diamante. Específicamente, las longitudes laterales se estiran por igual a partir de una tensión equibiaxial -de los elementos diagonales- de 1/2, y esto se superpone a un cambio de forma a partir de una tensión de cizallamiento -de los elementos no diagonales- de 1/2.

"Además, el tensor satisface los requisitos estándar, como la invariancia de la traza (aquí, 1) y otros dos invariantes. Estas invariantes capturan la verdadera esencia del estado de tensión, que debe ser independiente de las coordenadas."

¿Por qué no enumerar esos índices como, por ejemplo, [½ ½ 0 ½ ½ 0 0 0 0] para formar un vector?

" Que no un verdadero vector cartesiano, que tiene tres elementos y una dirección bien definida. Es sólo una lista".

Una pregunta más. Cuando aplicamos una carga sobre una superficie, el estado de tensión resultante tiene una dirección bien definida que corresponde a la carga. ¿Por qué no es necesario un tensor en este caso?

"Sigue siendo necesario un tensor para describir el estado de tensión debido al razonamiento anterior, pero ni la superficie ni la carga son libres de rotar, por lo que cualquier elemento infinitesimal alineado con la superficie está constreñido. Aunque esto parece sugerir que la tensión tiene una sola dirección, es un resultado particular de la restricción y no se mantiene en general."

(Imágenes de mi sitio Adaptación de una fotografía de Nelson Fitness).

Answer 2

Podemos someter un alambre a un esfuerzo de tracción tirando de cada extremo con una fuerza de igual magnitud. Si el cable tiene una alineación Este-Oeste, necesitamos tirar de su extremo oriental hacia el Este y de su extremo occidental hacia el Oeste (aunque una de estas fuerzas pueda ser aplicada discretamente por un anclaje fijo al que esté sujeto un extremo del cable). Se necesitan estas dos fuerzas para someter al cable a una tensión uniforme. Por tanto, la tensión no apunta hacia el Este ni hacia el Oeste. Tiene una alineación en lugar de una dirección. Esto no nos impide calcular la tensión de tracción dividiendo la magnitud de cualquiera de las dos fuerzas por el área sobre la que actúa.

La tensión, por tanto, no es una cantidad vectorial. [En cambio, puede representarse mediante un objeto matemático denominado tensor de segundo rango . Los tensores nos permiten representar no sólo la tensión de tracción, sino también otros tipos de tensión (como la tensión de cizalladura), o combinaciones de diferentes tipos de tensión].

Answer 3

Supongamos una bola tan llena de aire que está a punto de explotar. Debido a la simetría de la situación, está claro que cada pequeña área de su superficie está siendo estirada por igual hacia todas las direcciones tangenciales. No es posible representar tal estado de tensión a una entidad con un módulo y una dirección dada como es el caso de un vector.

Sin embargo, es posible definir un $x$ y $y$ para una pequeña región cuadrada a lo largo de $2$ direcciones tangenciales ortogonales. Existe una fuerza igual $F$ para cada una de estas direcciones. Como las fuerzas son vectores, cuando las proyectamos y sumamos a una dirección $45^{\circ}$ el resultado es $F\sqrt{2}$ .

Pero si dividimos $F$ por el lado del cuadrado, y divide $F\sqrt{2}$ por su diagonal (porque es la longitud asociada a un ángulo de $45^{\circ}$ ), el resultado es el mismo, como debería ser debido a la simetría.

Es posible ver en este ejemplo que el estado de tensión no puede ser representado adecuadamente por un vector, sino por un tensor de tensión formado con $2$ tensiones de tracción en direcciones mutuamente ortogonales.

Answer 4

El estrés no es un vector porque necesita más información de la que puede proporcionar un vector.

El estrés puede representarse como $2^{nd}$ cantidad del tensor de orden $\mathbb{T}$ que relaciona dos vectores, el vector normal unitario, $\mathbf{\hat{n}}$ de una superficie que pasa por un punto elegido y la fuerza por unidad de superficie que actúa sobre ella, $\mathbf{t_n}$ ,

$\mathbf{t_n} = \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbb{T}$ .

Si cambia la orientación de la superficie, también cambia la fuerza por unidad de superficie. Esto puede interpretarse con el equilibrio del tetraedro de Cauchy, véase la página wiki https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor