Si $a^2+b^2+c^2=1$ entonces demuestre lo siguiente.

Question

Si $a^2+b^2+c^2=1$ demuestre que $\frac{-1}{2}\le\ ab+bc+ca\le 1$ .

Pude demostrar que $ ab+bc+ca\le 1$ . Pero soy incapaz de obtener una ecuación que demuestre que $ \frac{-1}{2}\le\ ab+bc+ca$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $ab+bc+ca < \dfrac{-1}{2} \Rightarrow 2(ab+bc+ca) + 1 < 0 \Rightarrow 2(ab+bc+ca) + a^2+b^2+c^2 < 0 \Rightarrow (a+b+c)^2 < 0$ . Contradicción.

Answer 2

$0\leq(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)\implies ab+ac+bc\geq-\dfrac{1}{2}$ .

Answer 3

Esto no es una prueba rigurosa sino un argumento geométrico. mira la transformación $T$ que envía $(a,b,c)^T$ à $(b,c,a)$ . se trata de una rotación por $120^\circ$ alrededor del eje $(1,1,1)^T$ el valor mínimo del $T(a,b,c)^T.(a,b,c)$ ocurre cuando $(a,b,c)$ es perpendicular al eje de rotación. esto se puede ver si se resuelve $(a, b, c)^T$ en una componente paralela al eje y otra perpendicular al eje.

Answer 4

$ab + bc + ca$ puede escribirse como $x^T A x$ donde $x = (a,b,c)$ como un vector columna y las filas de $A$ son

$$.5, .5, 0 $$ $$.5, 0, .5$$ $$0 , .5,.5$$

$A$ es simétrica, por lo que podemos encontrar los valores extremos en el disco unitario observando los valores propios, que resultan ser todos -1/2, 1/2 y 1 (esto se obtiene diagonalizando A y utilizando la base del vector propio).

Valores propios calculados por Wolfram Alpha

Answer 5

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 2 - 2(ab + bc + ac). Así se demuestra que ab + bc + ca <= 1.

Ahora:

Si ab + bc + ac < -1/2, entonces 2(ab + bc + ac) < -1.

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2(a + b)(c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1 + 2(ab + ac + bc) < 1 + (-1) = 0. Lo cual es imposible.

(Editado).