¿Cómo se pueden construir los hipernaturales a partir de los naturales (o enteros/hiperíntegros)?

Question

Quiero encontrar una construcción de ${}^*\mathbb N$ que no implique a los reales, porque mi interés es utilizar los hipernaturales como paso hacia una construcción alternativa de $\mathbb R$ como subconjunto de ${}^*\mathbb Q$ . Mi razonamiento es que ${}^*\mathbb N$ es elementalmente equivalente a $\mathbb N$ La siguiente construcción debería ser más intuitiva y creíble que una construcción que comience por "observar que los reales son equivalentes a sus expansiones decimales" o cualquier supuesto similar. Creo que lo mismo podría decirse de ${}^*\mathbb Z$ si esto es más fácil.

Para contextualizar, no se trata de una pregunta de análisis no estándar (que parece haber desarrollado su propio estándar) y espero que la construcción se pueda describir principalmente en términos sencillos, y preferiblemente con algunos ejemplos que expliquen qué números se consideran parte de ${}^*\mathbb N$ . Quizás en el contexto de los ordinales.

Mi proceso de pensamiento hasta ahora me ha llevado a la idea de que ${}^*\mathbb N$ puede construirse como un subconjunto ordenado de $\mathbb N^\mathbb N$ (secuencias infinitas ordenadas de naturales equivalentes a funciones sobre $\mathbb N$ ), sin embargo, como no he sido capaz de precisar exactamente qué elementos se supone que son ${}^*\mathbb N$ Por ejemplo, las combinaciones multiplicativas, aditivas y sustractivas de $c$ , $x$ , $x^2$ , $x^x$ etc. parece seguir siendo sólo contable.

Answer 1

Identificar un subconjunto concreto de $\mathbb N^\mathbb N$ ...y definir operaciones sobre él, va a ser... complicado.

Por ejemplo, supongamos que $x=(0,1,2,3,\ldots)$ está en tu set. Es $x$ ¿un número par o un número impar? Si defines la suma en $\mathbb N^\mathbb N$ como una simple suma de coordenadas, no es ni lo uno ni lo otro. $y$ tal que $y+y=x$ o $y+y+1=x$ . Pero entonces, $x$ ¡no es un número hipernatural!

Usted podría tratar de salvar la situación diciendo, vamos a declarar que $x$ es par, y $x/2=y=(0,0,1,1,\ldots)$ y para que eso funcione, identificaremos $y+y=(0,0,2,2,\ldots)$ con $x$ sobre la base de que las dos secuencias coinciden infinitamente a menudo. Ah, pero también discrepan infinitamente a menudo... Bueno, más concretamente, las dos secuencias coinciden en coordenadas pares, y estamos eligiendo arbitrariamente declarar que al comparar secuencias, las coordenadas pares importan más que las coordenadas Impares. Nótese que al identificar secuencias diferentes, ya no estamos eligiendo un subconjunto de $\mathbb N^\mathbb N$ sino un cociente de $\mathbb N^\mathbb N$ por alguna relación de equivalencia.

A continuación alguien le preguntará si $x$ es una potencia de $2$ si es un factorial; si es un número de Fibonacci...

...y tendrás que hacer lo mismo para cada dicotomía de los números naturales: decidir qué lado de la dicotomía importa más, y hacerlo de forma consistente, asegurándote de que $x$ nunca llega a ser equivalente a un número finito...

...y para abreviar, has acabado con un ultrafiltro gratis en $\mathbb N$ y sus números hipernaturales serán la ultrapotencia correspondiente. Esta es la construcción estándar. Más información: https://en.wikipedia.org/wiki/Ultraproduct