Determinación del cruce del eje imaginario de un lugar raíz

Question

Tengo una ecuación $$\begin{equation}{\text{L}\left(s\right)=\frac{K}{s(s+4)(s^2+6s+64)}} \end{equation}$$

Cuando trato de trazarlo con matlab, el lugar de la raíz parece cruzar el eje imaginario en alrededor de +/-5.06

Cuando intento determinar a mano dónde el lugar geométrico de la raíz cruzará el eje imaginario, obtengo dos valores posibles para el cruce del eje imaginario: 5,06 como en el gráfico de matlab o 3,52. ¿Hay alguna forma de descartar el valor del eje imaginario? ¿Hay alguna forma de descartar un valor para el cruce del eje imaginario? ¿Por qué me salen dos valores para el cruce del eje imaginario y en matlab sólo sale uno?

Answer 1

No estoy seguro de tu cálculo, pero Matlab da el resultado correcto. En este problema, el enfoque común es utilizar Routh-Hurwitz y buscar una fila de ceros que dé la posibilidad de raíces imaginarias del eje. Para convertir el sistema a la función de transferencia de bucle cerrado, por lo tanto $$\frac{K}{s^4 + 10s^3 + 88s^2 + 256s + K}$$

La mesa Routh es

$$\begin{matrix} s^4 &&&& 1 &&&& 88 &&&& K \\ s^3 &&&& 10 &&&& 256 \\ s^2 &&&& 62.4 &&&& K \\ s^1 &&&& \frac{15974.4-10K}{62.4} \\ s^0 &&&& K \end{matrix}$$

En $s^1$ es la única fila que puede producir una fila de ceros. De la fila anterior obtenemos

$$\begin{align} &15974.4 - 10K = 0 \\ K &= \frac{15974.4}{10} = 1597.44 \end{align}$$

Ahora echemos un vistazo a la fila de arriba $s^1$ y construir el siguiente polinomio, por tanto

$$\begin{align} 62.4 s^2 + K &= 0 \\ 62.4 s^2 + 1597.44 &= 0 \\ s^2 &= \frac{-1597.44}{62.4} \\ s_{1,2} &= \pm j \sqrt{25.6} \\ s_{1,2} &= \pm j 5.0596 \\ \end{align}$$

El lugar geométrico de la raíz cruza el eje imaginario en $\pm j5.0596$ en la ganancia $K=1597.44$ . En consecuencia, la ganancia $K$ debe ser inferior a 1597,44 para que el sistema sea estable.

Answer 2

MATLAB traza el lugar geométrico de la raíz sólo para valores positivos de $K$ . Su cálculo analítico puede considerar tanto valores positivos como negativos de $K$ y por eso terminas con dos pares de puntos. Quédate sólo con el que se obtiene con $K>0$

Answer 3

Para determinar $K$ . Tenemos que investigar:

$1+KF(s)=0\implies 1+L(s)=0 \implies s(s+4)(s^2+6s+64)+K=0.$

Sabemos que $s=j\omega$ . Introduciendo esto en la ecuación y recogiendo la parte real y la imaginaria obtenemos.

$\left(10\omega^3-256\omega \right)+j\left(\omega^4-88\omega^2+K \right)=0+j\cdot 0$

Comparando el número complejo del lado derecho e izquierdo de la ecuación obtenemos dos ecuaciones:

$10\omega^3-256\omega=0 \qquad \wedge \qquad \omega^4-88\omega^2+K=0.$

Resolviendo la primera ecuación se llega a $\omega=0, \omega=\pm\frac{8}{5}\sqrt{10}$ . $\omega =0$ se llegaría a la solución trivial $K=0$ . Como la segunda ecuación es par tanto $\omega=\pm\frac{8}{5}\sqrt{10}\approx5.060$ conducen al mismo resultado $K=\frac{39936}{25}\approx1597.44$ lo cual es obvio porque el lugar de la raíz es simétrico con respecto al eje real.

Si se comprueba con MATLAB, los resultados son muy similares.