Cómo decidir si las extensiones son cuasi isométricas

Question

Supongamos que tenemos dos extensiones de grupos finitamente generados: $$0 \rightarrow A \rightarrow Q_i \rightarrow W \rightarrow 0 ; i=1,2$$ ¿Hay alguna forma de distinguir las extensiones no cuasi isométricas? Al menos para casos más sencillos como $W = Z^{n}$ y $A$ es abeliano.

Answer 1

Es una cuestión muy interesante, pero incluso en los "casos más sencillos" por los que preguntas, a saber, los grupos (abelianos)-por-(p.ej. abelianos libres), no hay resultados completamente generales. Y aunque se conocen varios casos especiales, esos casos especiales son sutiles y las pruebas pueden ser difíciles. Aunque hay algunos patrones que han llevado a algunas generalizaciones, todavía no se puede discernir un patrón completamente general.

Farb y yo resolvimos el caso en el que $A$ es abeliano no infinitamente generado, $W$ tiene rango 1, y $Q$ está finitamente presentada. Ver nuestros artículos

• Rigidez cuasi-isométrica para los grupos solubles Baumslag-Solitar. II.
• Sobre la geometría asintótica de grupos abelianos por cíclicos.

Para la rigidez cuasi isométrica de la geometría solv tridimensional (es decir, el caso $A=\mathbb{Z}^2$ , $W=\mathbb{Z}$ ), además de otros grupos de extensión interesantes, consulte el artículo de Eskin, Fisher y Whyte:

• Diferenciación gruesa de cuasi-isometrías II: Rigidez para grupos Sol y lamplighter

Para varios casos que permiten $W$ ser de rango superior y/o $A$ sea nilpotente, busque los trabajos de Dumarz, Peng y Xie.