Supongamos que tenemos dos extensiones de grupos finitamente generados: 0→A→Qi→W→0;i=1,20→A→Qi→W→0;i=1,2 ¿Hay alguna forma de distinguir las extensiones no cuasi isométricas? Al menos para casos más sencillos como W=ZnW=Zn y AA es abeliano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Es una cuestión muy interesante, pero incluso en los "casos más sencillos" por los que preguntas, a saber, los grupos (abelianos)-por-(p.ej. abelianos libres), no hay resultados completamente generales. Y aunque se conocen varios casos especiales, esos casos especiales son sutiles y las pruebas pueden ser difíciles. Aunque hay algunos patrones que han llevado a algunas generalizaciones, todavía no se puede discernir un patrón completamente general.
Farb y yo resolvimos el caso en el que AA es abeliano no infinitamente generado, WW tiene rango 1, y QQ está finitamente presentada. Ver nuestros artículos
- Rigidez cuasi-isométrica para los grupos solubles Baumslag-Solitar. II.
- Sobre la geometría asintótica de grupos abelianos por cíclicos.
Para la rigidez cuasi isométrica de la geometría solv tridimensional (es decir, el caso A=Z2 , W=Z ), además de otros grupos de extensión interesantes, consulte el artículo de Eskin, Fisher y Whyte:
- Diferenciación gruesa de cuasi-isometrías II: Rigidez para grupos Sol y lamplighter
Para varios casos que permiten W ser de rango superior y/o A sea nilpotente, busque los trabajos de Dumarz, Peng y Xie.