Sea $\mu_n \gt 0$ para todos $n \in N$ . Deje también que $\lim{\sqrt[n]{u_n}}=\mu$ . Demostrar que $\lim{\sqrt[n]{(n+1)u_{n+1}}}=\mu$

Question

El problema dice lo siguiente:

Sea $\mu_n \gt 0$ para todos $n \in N$ . Deje también que $\lim{\sqrt[n]{u_n}}=\mu$ . Demostrar que $\lim{\sqrt[n]{(n+1)u_{n+1}}}=\mu$

Para ser honesto, ni siquiera sé cómo empezar a resolver esto. Lo que he intentado hasta ahora es dejar que $\mu=0$ entonces para $\epsilon \gt 0$ existe un valor arbitrario M en los números naturales tal que $|u_n^{1/n}| \lt \epsilon$ . Eso es todo lo que he escrito. No sé si esto es siquiera correcto o dónde debo ir desde aquí.

Answer 1

Sea $a_n = \sqrt[n]{u_n}$ . Entonces $$\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \mu = \lim\limits_{n\to \infty} a_{n+1}.$$ Pero $$\sqrt[n]{(n+1)u_{n+1}}=((n+1)u_{n+1})^{\frac{1}{n}} =(n+1)^{\frac{1}{n}}\cdot (\left( u_{n+1} \right)^{\frac{1}{n+1}} )^{\frac{n+1}{n}} = (n+1)^{\frac{1}{n}}\cdot (a_{n+1} )^{\frac{n+1}{n}}.$$ Podemos calcular por separado

1. $$\lim\limits_{n\to \infty} (n+1)^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n\to \infty} ((n+1)^{\frac{1}{n+1}})^{\frac{n+1}{n}} = \lim\limits_{n\to \infty} e^{\frac{n+1}{n} \cdot \ln ( (n+1)^{\frac{1}{n+1}} )} = e^{1 \cdot 0} = 1,$$ desde $\lim\limits_{n\to \infty} n^{\frac{1}{n}}= 1$ y puesto que $\ln t$ , $e^t$ son funciones continuas.

2. $$\lim\limits_{n\to \infty}(a_{n+1} )^{\frac{n+1}{n}} =\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{n+1}{n}\ln(a_{n+1})} = e^{1\cdot \ln \mu} =\mu,$$ desde $\lim\limits_{n\to \infty} a_{n+1}= \mu$ y puesto que $\ln t$ , $e^t$ son funciones continuas.

Por lo tanto, $$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{(n+1)u_{n+1}} = \mu. $$