La suma de la serie de $\sum_{k=0}^\infty 2^k/\binom{2k+1}{k}$

Question

Cómo encontrar la suma de esta serie? $$\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{{2}^{k}}{\binom{2k+1}{k}}$$

Parece muy fácil. Pero todavía no se puede trabajar, alguien puede ayudar?

Answer 1

Tenemos, mediante la función Beta de Euler: $$\begin{eqnarray*}\color{red}{\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k}{\binom{2k+1}{k}}}&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k \Gamma(k+1)\Gamma(k+2)}{\Gamma(2k+2)}=\sum_{k=0}^{+\infty}2^k(k+1)\,B(k+1,k+1)\\&=&\sum_{k=0}^{+\infty}2^k(k+1)\int_{0}^{1}x^k(1-x)^k\,dx\\&=&\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1-2x(1-x))^2}=\color{red}{\frac{\pi}{2}+1}.\end{eqnarray*}$$

Answer 2

Esta cuestión está estrechamente relacionada con esta cuestión. $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{\binom{2k+1}{k}} &=\sum_{k=0}^\infty2^k\frac{k!(k+1)!}{(2k+1)!}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)!}{(2k+1)!!}\tag{2}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!} +\sum_{k=0}^\infty\frac{k\,k!}{(2k+1)!!}\tag{3}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!} +\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{k!}{(2k-1)!!}-\frac{(k+1)!}{(2k+1)!!}\right)\tag{4}\\ &=\frac\pi2+1\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: reescritura de coeficiente binomial con factoriales
$(2)$: $(2k+1)!!=\frac{(2k+1)!}{2^kk!}$
$(3)$: $(k+1)!=k!+k\,k!$
$(4)$: $\frac{k!}{(2k-1)!!}-\frac{(k+1)!}{(2k+1)!!}=\frac{(2k+1)k!}{(2k+1)!!}-\frac{(k+1)k!}{(2k+1)!!}=\frac{k\,k!}{(2k+1)!!}$
$(5)$: esta respuesta y telescópico de la serie