Utilice la función característica de X. (X es una distribución de Laplace (0,1)) para obtener la función característica de la distribución estándar de Cauchy

Question

Sea X una v.r. con pdf: $\;f(x) = \tfrac{1}{2}e^{-|x|}$ (Laplace(0,1))

a) Calcule la función característica de X

No hay problema. Yo lo hago. $\varphi_{X}(t)=\tfrac{1}{1+t{^2}}$

b) Utiliza el resultado anterior para obtener la función característica de la distribución estándar de Cauchy

Sé que el pdf estándar de Cauchy es $\tfrac{1}{\pi}\varphi_{X}(t)$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Se trata de una aplicación inmediata del teorema de inversión de las transformadas de Fourier. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem