Normas con números complejos sobre espacios de Hilbert

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert y $v,w \in H$ y a sea un escalar.

Demostrar que $\|v\| \leq \|v+aw\|$ para todo escalar a si (v,w)=0 para los casos real y complejo.

Quiero elegir una tal que $\bar{a}(v,w)$ será real y negativo pero "cercano" a cero.

¿Puedo decir entonces que $2Re(\bar{a}(v,w)) \leq |a|^2\|w\|^2$ ? ¿Cómo elijo un a?

Answer 1

Si $(v,w) \ne 0$ seleccione $\alpha$ para que $(v-\alpha w)\perp w$ es decir $\alpha=\frac{(v,w)}{(w,w)}$ . Entonces $\alpha\ne 0$ lo que conduce a $$ \|v\|^2=\|(v-\alpha w)+\alpha w\|^2=\|v-\alpha w\|^2+\|\alpha w\|^2 > \|v-\alpha w\|^2. $$ Por el contrario, si $(v,w)=0$ se cumple lo siguiente para todo $\alpha$ : $$ \|v-\alpha w\|^2=\|v\|^2+\|\alpha w\|^2 \ge \|v\|^2 $$

Answer 2

Sea $a = t(v,w)$ para algún número real distinto de cero $t$ . Entonces $$2 t|(v,w)|^2 = 2 \Re (\bar a(v,w)) \le |a|^2 \|w\|^2 = t^2 |(v,w)|^2 \|w\|^2.$$

Si $(v,w) \not= 0$ entonces $2t \le t^2 \|w\|^2$ para todo real distinto de cero $t$ lo que puede demostrar rápidamente que es imposible.