Ecuación funcional : $ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2$

Question

Buscar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$ satisfaciendo

$$ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2$$

$\forall n \in \mathbb{N}$ .

Gracias, Batominovski y Guy Fabrice ..

¿Es correcto lo que he entendido? Si hay algún error, le ruego me lo comunique.

Sustituir $n=1$ , $f(1)^3 =f(1)^2$ Así que $f(1)=0$ o $1$

$f(1)=0$ : sustituto $n=2$ , $f(2)^3 =f(2)^2$ Así que $f(2)=0$ o $1$

Si $f(2) = 0$ , dejemos que $l$ sea el valor máximo tal que $f(l) =0$ .

así que $ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(l+1)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(l+1))^2$

entonces $f(l+1)^3=(f(l+1))^2$ así que $f(l+1) = 1$

Si $f(2) = 1$ entonces $0+1+f(3)^3=(f(1)+f(2)+f(3))^2$ Así que $f(3) = 0$ o $2$

Desde $ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2$

y $ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n+1)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n+1))^2$

así que $f(n+1)^3 = 2(f(1)+f(2)+\ldots+f(n))f(n+1)+f(n+1))^2$

así que $f(n+1)^2-f(n+1)=2(f(1)+f(2)+\ldots+f(n))$

es decir, si $f(n) \not= 0$ entonces $f(n)=n, \forall n \in \mathbb{N}$

por lo que si $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{N}$ entonces $f(n) = 0, \;\forall n \in \mathbb{N}$

Si $f(x)$ sea el valor tal que Max $\{f(1), f(2), \ldots ,f(x)\}=k$ entonces $f(x+1) = k+1$ o $0$ ---[1]

Por inducción, sea $P(n)$ denota [1]

Paso básico , es obvio que si $f(1) = 0$ entonces $f(l_i)=1$ , $1\leq l_i\leq x$

así que $1+f(l_i+1)^3 = (f(l_i+1) +1)^2$ así que $f(l_i+1)=2$ o $0$

Paso inductivo, supongamos que $P(k)$ es cierto.

$1^3+2^3+\ldots+k^3+f(x+1)^3=(1+2+\ldots+k+f(x+1))^2$ ,

así que $f(x+1)=k+1$ o $0$ Así que $P(n)$ es cierto.

La secuencia de $f$ es $\underbrace{0\ldots0}_{\text{$ k_1 $}}1\underbrace{0\ldots0}_{\text{$ k_2 $}}2\ldots$ donde $k_1, k_2, \ldots \in \mathbb{N}$

Comprobar respuesta :

$ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n)^3 = 1^3+2^3+\ldots+m^3=\left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2=(f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2$

$\blacksquare$

Answer 1

Buscar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$ satisfaciendo

$$ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2$$ Este en $n+1$ da

$$ f(1)^3 + f(2)^3 + \ldots + f(n+1)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n+1))^2$$ Es decir

$$ (f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2+ f(n+1)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n+1))^2$$ de ahí tenemos $$ f(n+1)^3 = (f(1) + f(2) + \ldots + f(n+1))^2-(f(1) + f(2) + \ldots + f(n))^2= 2f(n+1)(f(1) + f(2) + \ldots + f(n)) +f(n+1)^2$$

obtenemos entonces las relaciones $$ f(n+1)^2 -f(n+1)=2(f(1) + f(2) + \ldots + f(n)) $$ Por lo tanto $f(n+1)(f(n+1)-1) $ debe ser un número par . de esta forma se comprueban los valores de $f(n)$ por inducción.

Answer 2

Pista: Demostrar por inducción en $n$ que, si $f(n)\neq 0$ entonces

(1) tenemos $f(n)=M_n+1$ donde $M_n:=\max\big\{f(1),f(2),\ldots,f(n-1)\big\}$ para $n>1$ y $M_1:=0$ ;

(2) para $n>1$ cada uno de los números $1,2,\ldots,M_n$ sólo aparece una vez entre $f(1),f(2),\ldots,f(n-1)$ en orden creciente (es decir, $i$ aparece antes de $i+1$ ).

Ambas afirmaciones deben demostrarse simultáneamente (es decir, no con pruebas inductivas separadas).