La función $x\mapsto f(x)$ definido como $x+1$ para $x\geq 0$ y $x$ para $x<0$ tiene un salto en $x=0$ . La derivada de $f$ es igual a $1$ en cada sector y así $f$ es diferenciable en $x=0$ y no hay diferencias en la pendiente de las rectas tangentes. Sin embargo, las dos tangentes en $0^-$ y $0^+$ no son iguales. ¿Es esto correcto? Yo creía que diferenciable $\Rightarrow$ continua.
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Mark
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La derivada de $f$ es igual a $1$ en cada sector y así $f$ es diferenciable en $0$
Incorrecto. $f$ no es diferenciable en $0$ .
Para $f$ sea diferenciable en cero, $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0}$ tendría que existir. Este límite no existe. En concreto, si tomamos el límite por la izquierda, obtenemos $\lim\limits_{h \to 0-} \frac{h - 1}{h} = \infty$ mientras que el límite por la derecha es $\lim\limits_{h \to 0+} \frac{h + 1 - 1}{h} = 1$ .
Otra forma de señalar que $f$ no es diferenciable en $0$ es observando que $f$ no es continua en cero. Ya que una función es continua en cualquier punto donde es diferenciable, $f$ no debe ser diferenciable en $0$ .
Existe un teorema en el que podrías haber pensado al resolver tu problema. Si $f$ es continua en cero y $\lim\limits_{h \to 0} f’(h) = L$ entonces $f’(0) = L$ . La demostración de este teorema se basa en el teorema del valor medio.
Sin embargo, nótese que un requisito clave de este teorema es que $f$ es continua en $0$ - no se cumple en este caso.
