Formulario estándar
Con el tiempo, se han desarrollado formas estándar para estas ecuaciones. Hay una razón para ello. Pero llegaré a eso en un momento.
Las formas estándar de paso bajo de 1er orden habituales para tu caso son:
$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=K\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{_0}}}$$
Toma, \$K\$ es la ganancia y \$\omega_{_0}\$ es la frecuencia de corte. A menudo se utiliza cualquiera de las dos formas, aunque en este punto la forma correcta tiene \$K\$ exactamente en un lugar y \$\omega_{_0}\$ en exactamente un lugar, por lo que puede ser más bonito . Sin embargo, cuando se llega a una forma estándar de segundo orden, hay razones para inclinarse más hacia la forma de la izquierda. Pero eso es para otro momento.
Sea cual sea el que utilice, si establece \$\omega_{_0}=1\$ y \$K=1\$ entonces tendrás:
$$G_s=\frac1{1+s}$$
Si se estudia ésta para todos los valores de \$s=j\,\omega\$ (ajuste \$\sigma=0\$ para ignorar la parte exponencial y en su lugar centrarse sólo en el comportamiento de la frecuencia), entonces se conoce el comportamiento de todos tales filtros de paso bajo de 1er orden. Todo lo que tienes que hacer es escalar el gráfico para \$\omega_{_0}\$ cuando decidas preocuparte por ello. Pero lo haces no tienen que estudiarlo todos \$\omega_{_0}\$ porque no hay ninguna diferencia real, excepto un cambio. Las curvas son todas idénticas. (Lo mismo ocurre con \$K\$ que no es más que un factor de ganancia -- las curvas son esencialmente las mismas cuando se estudia el \$K=1\$ caso).
Así que tu objetivo es poner tu función de transferencia en forma estándar.
Su caso
Me gusta que lo hayas intentado de varias maneras. Es una práctica importante. Sigue así. Me gustó tu enfoque usando las dos resistencias como divisor para ayudar a simplificar el problema. Pero permíteme tomar un enfoque algo diferente sólo para añadir a lo que ya hiciste.
Prefiero no utilizar \$j\,\omega\$ sino utilizar siempre \$s\$ . Es menos escritura. Pero también es más general. Siempre puedo decidir que \$\sigma=0\$ y luego se reduce a lo que hiciste. Pero, ¿por qué tomarse la molestia de escribir dos símbolos cuando con uno basta y da menos trabajo?
Vamos a tratar \$R_\text{L}\$ en paralelo con \$C\$ para crear \$Z_\text{L}\$ . Entonces todavía podemos utilizar el enfoque del divisor. Tenemos \$Z_\text{L}=R_\text{L}\mid\mid C=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}\$ . Así que..:
$$\begin{align*} G_s&=\frac{Z_\text{L}}{Z_\text{L}+R}=\frac{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}}{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}+R}\cdot\frac{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}+R\left(R_\text{L}+\frac1{s\,C}\right)}\\\\ &=\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R\left(R_\text{L}\,C\,s+1\right)}\cdot\frac{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}=\frac{\frac1{R\,C}}{s+\frac1{C}\left(\frac1{R_\text{L}}+\frac1{R}\right)}\\\\ &=\frac{\frac1{R\,C}}{s+\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right)\,C}} \end{align*}$$
Puede configurar \$\alpha_{_0}=\frac1{R\,C}\$ y \$\omega_{_0}=\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right)\,C}\$ para obtener \$G_s=\frac{\alpha_{_0}}{s+\omega_{_0}}\$ . Pero \$K\$ falta ahí y nos gustaría extraerlo porque es muy bueno saber qué es. Como sabemos que \$\alpha_{_0}=K\,\omega_{_0}\$ se deduce que \$K=\frac{\alpha_{_0}}{\omega_{_0}}=\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\$ que no es más que esa red divisora de resistencias.
Así que..,
$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{_0}}}$$
Puede recuperar su forma (que es definitivamente no estándar ) sustituyendo \$\omega_{_0}\$ y multiplicando por \$\frac{R}{R}\$ :
$$\begin{align*} G_s&=\left[\frac{R}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{1}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{1}{R}\right]\frac{R^{'}}{1+R^{'}\,C\,s} \end{align*}$$
Así que tienes razón.
Pero deberías acostumbrarte a poner las cosas en forma estándar. Es más rápido legible por su significado.
