Creo que he encontrado un error en un libro de electrónica. ¿Son correctas mis ecuaciones?

Question

Estoy leyendo Electrónica práctica para inventores 4ª edición, para refrescar mis olvidados conocimientos de electrónica. Hasta ahora me encanta el libro, pero acabo de encontrarme con una ecuación que parece incorrecta. No quiero asumir inmediatamente que el error está ahí, así que sólo quiero asegurarme de que no me estoy perdiendo algo.

Se trata de la función de transferencia de un filtro RC cargado (página 213 si tienes el libro). Este es el circuito:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

La función de transferencia, según el libro es esta:

Este salto de la fórmula con la notación paralela a la de R' no tenía mucho sentido para mí, y no se explica cómo llegamos a ella. Después de convertir la ecuación, creo que falta un 1/R.

Estos son los pasos:

1. Primero he ampliado y simplificado la parte de la CR paralela.

   

2. Luego lo volví a introducir en la ecuación original.

   

   

Pues lo mismo, pero con 1/R más.

Hice otra ronda utilizando el circuito equivalente de Thevenin y obtuve el mismo resultado.

simular este circuito

Así que si cambio R _L y C allí y cortar el circuito antes de C como se ve arriba, entonces la resistencia equivalente debe ser igual a R' y el voltaje equivalente debe ser el voltaje a través de R _L .

simular este circuito

Así que con eso:

Y la función de transferencia es:

¿Veis algún error en este proceso? Para mí tiene sentido, pero estoy un poco oxidado con respecto a todo esto, así que estoy dudando un poco de mí mismo.

Answer 1

Formulario estándar

Con el tiempo, se han desarrollado formas estándar para estas ecuaciones. Hay una razón para ello. Pero llegaré a eso en un momento.

Las formas estándar de paso bajo de 1er orden habituales para tu caso son:

$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=K\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{_0}}}$$

Toma, $K$ es la ganancia y $\omega_{_0}$ es la frecuencia de corte. A menudo se utiliza cualquiera de las dos formas, aunque en este punto la forma correcta tiene $K$ exactamente en un lugar y $\omega_{_0}$ en exactamente un lugar, por lo que puede ser más bonito . Sin embargo, cuando se llega a una forma estándar de segundo orden, hay razones para inclinarse más hacia la forma de la izquierda. Pero eso es para otro momento.

Sea cual sea el que utilice, si establece $\omega_{_0}=1$ y $K=1$ entonces tendrás:

$$G_s=\frac1{1+s}$$

Si se estudia ésta para todos los valores de $s=j\,\omega$ (ajuste $\sigma=0$ para ignorar la parte exponencial y en su lugar centrarse sólo en el comportamiento de la frecuencia), entonces se conoce el comportamiento de todos tales filtros de paso bajo de 1er orden. Todo lo que tienes que hacer es escalar el gráfico para $\omega_{_0}$ cuando decidas preocuparte por ello. Pero lo haces no tienen que estudiarlo todos $\omega_{_0}$ porque no hay ninguna diferencia real, excepto un cambio. Las curvas son todas idénticas. (Lo mismo ocurre con $K$ que no es más que un factor de ganancia -- las curvas son esencialmente las mismas cuando se estudia el $K=1$ caso).

Así que tu objetivo es poner tu función de transferencia en forma estándar.

Su caso

Me gusta que lo hayas intentado de varias maneras. Es una práctica importante. Sigue así. Me gustó tu enfoque usando las dos resistencias como divisor para ayudar a simplificar el problema. Pero permíteme tomar un enfoque algo diferente sólo para añadir a lo que ya hiciste.

Prefiero no utilizar $j\,\omega$ sino utilizar siempre $s$ . Es menos escritura. Pero también es más general. Siempre puedo decidir que $\sigma=0$ y luego se reduce a lo que hiciste. Pero, ¿por qué tomarse la molestia de escribir dos símbolos cuando con uno basta y da menos trabajo?

Vamos a tratar $R_\text{L}$ en paralelo con $C$ para crear $Z_\text{L}$ . Entonces todavía podemos utilizar el enfoque del divisor. Tenemos $Z_\text{L}=R_\text{L}\mid\mid C=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}$ . Así que..:

$$\begin{align*} G_s&=\frac{Z_\text{L}}{Z_\text{L}+R}=\frac{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}}{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}+R}\cdot\frac{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}+R\left(R_\text{L}+\frac1{s\,C}\right)}\\\\ &=\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R\left(R_\text{L}\,C\,s+1\right)}\cdot\frac{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}=\frac{\frac1{R\,C}}{s+\frac1{C}\left(\frac1{R_\text{L}}+\frac1{R}\right)}\\\\ &=\frac{\frac1{R\,C}}{s+\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right)\,C}} \end{align*}$$

Puede configurar $\alpha_{_0}=\frac1{R\,C}$ y $\omega_{_0}=\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right)\,C}$ para obtener $G_s=\frac{\alpha_{_0}}{s+\omega_{_0}}$ . Pero $K$ falta ahí y nos gustaría extraerlo porque es muy bueno saber qué es. Como sabemos que $\alpha_{_0}=K\,\omega_{_0}$ se deduce que $K=\frac{\alpha_{_0}}{\omega_{_0}}=\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}$ que no es más que esa red divisora de resistencias.

Así que..,

$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{_0}}}$$

Puede recuperar su forma (que es definitivamente no estándar ) sustituyendo $\omega_{_0}$ y multiplicando por $\frac{R}{R}$ :

$$\begin{align*} G_s&=\left[\frac{R}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{1}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{1}{R}\right]\frac{R^{'}}{1+R^{'}\,C\,s} \end{align*}$$

Así que tienes razón.

Pero deberías acostumbrarte a poner las cosas en forma estándar. Es más rápido legible por su significado.

Answer 2

El libro está equivocado. Usted tiene razón. Puedes verificarlo introduciendo conjuntos aleatorios de valores en el lado izquierdo y en el lado derecho. Están fuera por un factor de 1/R.

Ni siquiera es necesario que sean valores complejos en este caso. Basta con sustituir jwC por algún número entero real (es decir, tratar C como una simple resistencia si tienes problemas para calcular el resultado complejo).

Answer 3

He simplificado la función de transferencia (1) de forma diferente y también he definido $R^\prime$ (2) de forma diferente antes de sustituir. $$H=\frac{V_{out}}{V_{in}} =\frac{R^\prime}{R+R^\prime} =\frac{1}{1+\frac{R}{R^\prime}} \tag{1}$$

Dónde: $$R^\prime=\frac{1}{j\omega C}||R_L =\frac{R_L}{1+j\omega C R_L} =\frac{1}{\frac{1}{R_L}+j\omega C} \tag{2}$$

Por lo tanto: $$\frac{R}{R^\prime}=\frac{R}{\frac{1}{\frac{1}{R_L}+j\omega C}} =R\left(\frac{1}{R_L}+j\omega C\right) =\frac{R}{R_L}+j\omega CR \tag{3}$$

Sustituyendo por $\frac{R}{R^\prime}$ en (1) da: $$H=\frac{1}{1+R\left(\frac{1}{R_L}+j\omega C\right)} =\frac{1}{1+\frac{R}{R_L}+j\omega CR} \tag{4}$$

Espero que este enfoque diferente le resulte útil.