¿Cuál es el mayor posible el primer hueco si se observa sólo 1000 dígitos de los números? Hay algunas conjeturas acerca de esta pregunta, pero es que hay algo que podemos decir y estar absolutamente seguro de ello?
Respuesta
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Si $a=A(n)$ $n^{th}$ primorial (es decir, el producto de los n primeros números primos), entonces, al menos, $a,a\pm2, a\pm3,... a\pm p_n,a\pm (p_n+1)$ son compuestos, dando una primer diferencia de longitud de, al menos,$p_n-1$. En $n=350, p_n=2357$, el primorial $a=A(n)$ tiene 1000 dígitos (su logaritmo en base 10 es acerca de 999.375). En realidad, con Pari/GP es fácil comprobar que $a-4152 ... a+3312$ son compuestos y $a-4153$ $a+3313$ al parecer es de los primeros, dando una primer diferencia de longitud 7465.
Wikipedia da un resultado de R. Rankin, que (donde $g(p)$ denota la brecha después de $p$) $g(p) > 2e^\gamma (\ln p) (\ln \ln p) (\ln \ln \ln \ln p)/(\ln \ln \ln p)^3$ infinitamente a menudo. Para $p\approx 10^{1000}$, que la expresión se evalúa a aproximadamente 5300. El artículo también proporciona una conjetura obligado de H. Cramér, que $g(p) = O((\ln p)^2)$, que para 1000 dígitos de los números sería un múltiplo de 5 millones de euros.
