Evaluando la integral de superficie sobre un campo vectorial fuera de una esfera con coordenadas esféricas

Question

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Esta es una pregunta que ha estado molestando mi mente. He intentado resolverlo pero no está funcionando como pensaba.

Conozco los valores.

También sé que div F = 0 + 0 + 2x = 2x

El valor más alto y más bajo de R es 0 <$\theta$ <$1/\pi$

Sé que theta $\theta$ está entre 0 <$\theta$ <$\pi/2$

Sé que $\phi$ está entre <$\pi/4$ <$\theta$ <$\pi/2$

Pero de toda esta información, ¿no puedo resolver la integral triple? Estoy bastante inseguro de cómo debo plantear la ecuación al usar coordenadas esféricas y me encantaría recibir algunos consejos. Gracias.

Answer 1

Esta es una integral de línea, se puede relacionar con una integral de superficie de $\nabla \times \mathbf F$, no con una integral de volumen de $\nabla \cdot \mathbf F$. Dado que $\nabla \times \mathbf F = 0$, su integral de superficie es cero. Puede tomar un camino diferente entre los mismos puntos finales, siendo el más simple $\mathbf r(t) = (t, t, 0)$, y evaluar $$\int_0^{1/\sqrt 2} (y + z^2, z + x, y + 2 x z) \cdot \mathbf r'(t) \bigg\rvert_{(x, y, z) = \mathbf r(t)} dt.$$ Alternativamente, puede encontrar un potencial de $\mathbf F$ y aplicar el teorema del gradiente: $$\mathbf F = \nabla (x y + y z + x z^2), \\ \int_\gamma \mathbf F \cdot d\mathbf r = (x y + y z + x z^2) \bigg\rvert_{(x, y, z) = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2, 0)}.$$