Interpretaciones teóricas de los fundamentos de geometría algebraica de Weil

Question

Durante más de 10 años antes de la aparición de la teoría de esquemas de Grothendieck, los fundamentos de geometría algebraica de Weil habían sido el lenguaje estándar de la geometría algebraica. Había importantes obras escritas en ese lenguaje. Así que una pregunta natural es: ¿Cómo pueden traducirse al lenguaje de los esquemas? ¿No existe una solución general a este problema y hay que demostrar cada uno de ellos desde cero?

Por ejemplo, Serre escribió en su libro "Algebraic groups and class fields":

Este capítulo contiene la construcción y el estudio elemental de la generalizados de una curva algebraica. Seguiremos de cerca el trabajo de Rosenlicht [64] sobre este tema, inspirado a su vez en Varietes abeliennes de Weil de Weil [89], donde se trata el caso del jacobiano habitual. Utilizaremos, como como ellos, el método de los "puntos genéricos". Esto nos obliga a renunciar el punto de vista de los capítulos precedentes (donde todos los puntos tenían sus coordenadas en un campo de base fijo) y adoptar el de Foundations [87]. En Es cierto que los puntos genéricos podrían ser sustituidos por divisores en variedades producto después de desarrollar en detalle las propiedades de estos divisores (es decir, esencialmente la cohomología de las láminas algebraicas coherentes sobre sobre una variedad producto); esto nos llevaría demasiado lejos.

¿Cómo podrían sustituirse los puntos genéricos por divisores en variedades producto?

Answer 1

La existencia del modelo de Néron es un ejemplo famoso de un resultado básico que se demostró por primera vez en el lenguaje de Weil. Fundaciones y fue reprobado en el lenguaje de esquemas de Grothendieck después de que se convirtiera en el lenguaje estándar de la geometría algebraica. Resulta que cuando André Néron escribió su Modelos mínimos de variedades abelianas sobre cuerpos locales y globales , Publications Mathématiques de l'IHÉS, 21 (1964), p. 5-128 Los esquemas ya existían desde hacía tiempo, pero él optó por utilizar el lenguaje más familiar de Weil y Shimura. A sugerencia de Grothendieck, Michel Raynaud reformuló la teoría en el lenguaje de los esquemas.

Anexo . Esto es lo que escribe James Milne en MR1045822 (91i:14034) sobre el libro de Bosch, Lütkebohmert y Raynaud:

Consideremos una variedad abeliana $A_K$ sobre el campo de fracciones $K$ de un anillo de valoración discreto $R$ . Si $A_K$ se extiende a un esquema proyectivo suave sobre $R$ entonces ese esquema es único. A principios de los años 60, Néron demostró que $A_K$ siempre tiene una extensión canónica a un esquema de grupo separado liso $A$ en $R$ que se caracteriza por la siguiente propiedad universal: para cualquier esquema suave $X$ en $R$ cada $K$ -morfismo $X_K\to A_K$ se extiende unívocamente a un $R$ -morfismo $X\to A$ . El esquema de grupo $A$ se denomina ahora modelo Néron de $A_K$ .

Aunque se trata de un resultado muy básico y ampliamente utilizado, muy pocos matemáticos han leído la demostración de Néron. Esto se debe a dos razones: en primer lugar, la demostración es difícil y para la mayoría de los propósitos basta con saber que $A$ existe y tiene la propiedad universal declarada; en segundo lugar, aunque Grothendieck ya había desarrollado la teoría de esquemas en la época en que trabajaba, Néron expresó la demostración en su propia forma relativa del lenguaje de los "Fundamentos'' de Weil, un lenguaje que no ha sido adoptado por otros matemáticos. El principal objetivo de los autores al escribir este libro ha sido ofrecer un tratamiento teórico moderno del teorema de Néron. Al mismo tiempo, han simplificado su demostración, han eliminado una condición innecesaria de su enunciado (que el campo de residuos sea perfecto) y han incluido algunos trabajos más recientes sobre los modelos de Néron.

Answer 2

Sólo añadiría a la respuesta de Chandan que Mike Artin, cuando arbitró el artículo de Neron, lo tradujo al lenguaje del esquema para poder entenderlo. Sus conferencias

Artin, M. Modelos Néron. Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), 213--230, Springer, Nueva York, 1986. MR0861977

se basan en sus notas personales de la época en que arbitraba a Neron. Por desgracia, siguen siendo muy concisas.