¿Cuándo (o por qué) es suficiente un formalismo de seis funtores?

Question

El formalismo de los seis funtores en una teoría de cohomología dada consiste en que para cada espacio hay una categoría derivada de láminas y seis formas diferentes de construir funtores entre esas categorías (cuatro que implican un morfismo y dos sólo un espacio). Consiste entonces en muchas coherencias - son isomorfismos entre ciertas composiciones de estos functores y, en formulaciones modernas, homotopías entre ciertas combinaciones de estos isomorfismos, 2-homotopías entre ciertas composiciones de estas homotopías, etcétera.

En Notas de Peter Scholze sobre seis formalismos de funtores da una definición precisa, atribuida a Lukas Mann, y la cierra diciendo:

Observamos que aquí no son necesarias más coherencias: Los colindantes adquieren automáticamente todas coherencias pertinentes.

Qué matemáticas ¿se está reclamando aquí? ¿Cómo sabemos que las coherencias adquiridas son todas las pertinentes? ¿Nos da ese conocimiento una algoritmo para demostrar que se obtiene una coherencia deseada?

En el caso de un formalismo de tres funtores, incluyendo sólo $\otimes, f^*, f_!$ (es decir, ignorando los colindantes mencionados en el pasaje citado), sé básicamente cómo responder a todas estas preguntas. El formalismo de los tres funtores es un funtor que va de una cierta categoría infinita de correspondencias a la categoría infinita de todas las categorías infinitas. Cada functor surge de una correspondencia, por lo que una composición de functores surge de una composición de correspondencias. Comprobar que dos funtores son isomorfos significa calcular las correspondencias pertinentes y comprobar que son isomorfos, y esto funciona para todos los isomorfismos clásicos del formalismo de los seis funtores que implican sólo a esos funtores (secuencia espectral de Leray con soportes compactos, simetría y asociatividad del producto tensorial, functorialidad del pullback, fórmula de Künneth, cambio de base propio, fórmula de proyección, los productos tensoriales son compatibles con los pullbacks). Comprobar que dos isomorfismos de este tipo son iguales significa evaluar dos isomorfismos de correspondencias, que en última instancia dan isomorfismos de esquemas, y comprobar que son iguales.

Pero cuando aparecen colindantes ya no sé cómo hacerlo. ¿Debo dibujar algún diagrama en el que las correspondencias estén conectadas con cadenas?

Answer 1

Cuando se define una estructura homotópica coherente, hay que encontrar el equilibrio correcto entre proporcionar suficientes datos (para que todos los isomorfismos (entre isomorfismos, ...) que se necesiten más adelante estén realmente definidos), y no proporcionar "demasiados" datos (porque si se incluyen dos isomorfismos entre $A$ y $B$ coherentemente...).

Por lo general, si tiene algún ( $\infty$ -)categoría $I$ y un functor hacia $\mathrm{Cat}_\infty$ tal que todas las flechas van a functores adyacentes izquierdos, entonces también se obtiene un segundo functor de $I^{\mathrm{op}}$ hacia $\mathrm{Cat}_\infty$ dando el diagrama de los functores adjuntos derechos; y este procedimiento puede invertirse, dando equivalencias de $\infty$ -categoría de dichos datos. Informalmente, la formación de adjuntos es única (hasta la elección de contractible) y functorial. Así pues, cabe esperar que todos los isomorfismos de coherencia pertinentes que implican functores adjuntos puedan deducirse de los datos ya presentes.

En el caso de $6$ -me parece que todos los mapas e isomorfismos esperados que implican a los functores adyacentes derechos (Hom. interna, $f_\ast$ , $f^!$ ) se producen automáticamente. Como ejemplo, la fórmula de cambio de base que implica $\ast$ -pushforward y $!$ -pullback es simplemente el adjunto del cambio de base para $\ast$ -pullback y $!$ -pushforward. O la fórmula $\mathrm{Hom}(f^\ast A,f^! B)=f^!\mathrm{Hom}(A,B)$ se deduce pasando a tomar un adjunto parcial derecho en la fórmula de proyección. En general, sin embargo, se trata de una afirmación heurística; es ligeramente difícil de justificar mediante un teorema porque las codificaciones clásicas de $6$ -consiste en una colección (ligeramente aleatoria) de funtores, mapas e isomorfismos.

Permítanme señalar que hay algunos mapas en los que durante un tiempo pensé que no estarían incluidos en esta noción abstracta, pero más tarde me di cuenta de que en realidad sí lo están. Se trata de la equivalencia entre $f^\ast$ y $f^!$ para mapas "etale $f$ y entre $f_\ast$ y $f_!$ para mapas "adecuados $f$ . De manera más general, para los mapas "separados $f$ se espera una transformación natural $f_!\to f_\ast$ que debería ser un isomorfismo para un $f$ . En el planteamiento de Gaitsgory-Rozenblyum de $6$ functores, hacen que dichas transformaciones formen parte del dato trabajando con un $(\infty,2)$ -versión categórica de correspondencias que permite mapas propios de correspondencias. Parecía haber un sentimiento general de que esto es realmente necesario: De hecho, Gaitsgory-Rozenblyum dicen explícitamente en su trabajo que piensan que $(\infty,2)$ -las categorías son fundamentales para definir y construir $6$ -funcionarios. Esto fue, para mí, un gran obstáculo psicológico, ya que mis conocimientos de $(\infty,2)$ -categorías está muy por detrás de la de $(\infty,1)$ -categorías.

Pero en realidad $(\infty,1)$ -¡basta con las categorías! Y se pueden deducir automáticamente los isomorfismos esperados $f^\ast=f^!$ para etale $f$ y $f_!=f_\ast$ para $f$ (y $f_!\to f_\ast$ para separados $f$ ), como en la lección 6 de mis notas. (Realmente lo que ocurre es que hay mapas de comparación definidos inductivamente, y pueden o no ser isomorfismos; pero en cualquier caso uno no tiene que suministrar más datos). Así que si uno hubiera incorporado tales mapas $f_!\to f_\ast$ como parte de los datos de $6$ -uno también debería preguntarse si estos mapas son de hecho los mismos que los mapas automáticos (junto con todos los isomorfismos de coherencia que los implican...). Esto es probablemente cierto en la codificación Gaitsgory-Rozenblyum, pero realmente no he intentado comprobarlo.

Como nota final, sería realmente muy bueno si uno pudiera encontrar un buen algoritmo o cálculo gráfico o algo así que le ayudara a verificar los diagramas conmutativos esperados que involucran a todos los $6$ functores. No conozco ningún trabajo en este sentido. Pero permítanme señalar que (como se me hizo saber por mi estudiante Adam Dauser) el pasaje de un $6$ -hacia un formalismo monoidal simétrico $(\infty,2)$ -donde los morfismos vienen dados por "núcleos de Fourier-Mukai" es un ejemplo de algo que Lurie ha escrito en sus notas sobre la hipótesis del cobordismo (véase por ejemplo el Corolario 3.3.35 para $n=2$ ), que es un área que utiliza mucho ese cálculo gráfico...