$\mathbb{Z}_p$ -extensiones de campos CM

Question

Intento demostrar algunas consecuencias del Teorema de Iwasawa para campos CM. Existe una secuencia de campos CM $$K=K_0\subseteq K_1 \subseteq \dots \subseteq K_\infty$$ para que $K_\infty/K$ es un $\mathbb{Z}_p$ -extensión de un primo $p$ . Así que creo que $[K_{n+1}:K_n]$ debe haber algún $p$ -poder para todos $n\geq0$ . Puesto que cada $K_n$ es un campo CM, existen subcampos $K_n^+$ que son totalmente reales, de modo que $[K_n:K_n^+]=2$ .
¿Qué puedo decir sobre la máxima extensión abeliana unramificada $K_\infty/K$ ? ¿Cómo puedo demostrar que $K_\infty$ ¿también es un campo CM? (Necesito este resultado para hablar de $K_\infty^+/K^+$ .)

Answer 1

Puede definir un número de campo CM $K$ como una extensión cuadrática totalmente imaginaria de un campo totalmente real $k$ . Entonces se puede demostrar que la conjugación compleja en $\mathbf C$ induce un automorfismo en $K$ que es independiente de la incrustación de $K$ en $\mathbf C$ (véase, por ejemplo, Washington, cap. 4, justo antes del thm. 4.10). Por abuso del lenguaje, esto se llama " la " conjugación compleja en $K$ y su campo fijo $k$ se indica $K^+$ por una razón obvia. Consideremos ahora un $\mathbf Z_p$ -extensión $K_\infty/K$ es decir, una extensión de Galois infinita cuyo grupo de Galois es isomorfo al grupo aditivo $\mathbf Z_p$ = límite inverso de $(\mathbf Z /p^n \mathbf Z$ , +). Por definición y teoría de Galois, $K_\infty$ es el límite directo (en realidad, la unión aquí) de los campos $K_n$ fijado por los subgrupos de $\mathbf Z_p$ de índice $p^n$ . Tenga en cuenta que $K_n/K$ es la única subextensión de grado $p^n$ y $K_{n+1}/K_n$ tiene grado $p$ . Además, si todos los $K_n$ son CM, también lo es obviamente la unión $K_\infty$ .

Usted pregunta qué se puede decir de la extensión abeliana unramificada máxima de $K_\infty$ . Casi por definición, es el límite directo de las máximas extensiones abelianas unramificadas del $K_n$ por lo que, según la teoría de campos de clases, su grupo de Galois es $X$ en $K_\infty$ es isomorfo al límite inverso de los grupos de clases ideales $C_n$ de la $K_n$ 's. Lo interesante sería describir la acción de $\Gamma = Gal(K_\infty/K)$ en $X$ . Al descomponer $X$ en su (pro)- $l$ - Subgrupos Sylow $X(l)$ se pueden decir algunas cosas si $l \neq p$ (véase, por ejemplo, Washington, cap. ). Pero el meollo del " asunto " de Iwasawa trata de la estructura de la torsión compacta noetheriana $\mathbf Z_p[[\Gamma]]$ - módulo $X(p)$ . Se conoce un teorema general de estructura algebraica para tales módulos (Wash., thm. 13.12), que generaliza en cierto modo la descripción clásica de los módulos abelianos finitos. $p$ -grupos. Por descendencia (es decir, tomando co-invariantes bajo $\Gamma$ ), se obtienen las célebres fórmulas de Iwasawa que dan los órdenes asintóticos del $p$ -Subgrupos Sylow del $C_n$ ( Wash. , thm. 13. 13).

Lo que hemos visto es sólo la parte algebraica de la teoría. En realidad, la información más interesante se refiere a la relación precisa del módulo $X(p)$ con el $p$ -L-ádicas unidas a campos numéricos totalmente reales. Esta es la llamada Conjetura Principal, cuya versión "más simple" es el teorema de Mazur-Wiles : sea $K$ sea CM, abeliano sobre $\mathbf Q$ de grado primo a $p$ dejar $K_\infty$ sea el ciclotómico $\mathbf Z_p$ -extensión de $K$ (no cualquiera $\mathbf Z_p$ -); para cualquier carácter par no trivial de Gal $(K/\mathbf Q)$ , digamos $\chi$ , dejemos que $X (\omega \chi^-1)$ (donde $\omega$ es el carácter Teichmûller) sea el $\omega \chi^-1$ parte de $X(p)$ y que $f_\chi$ (T) sea " la " " serie de potencias característica " asociada a $X (\omega \chi^-1)$ mediante el teorema de estructura anterior ; entonces $f_\chi ((1+p)s – 1) = L_p (\chi, s)$ para todos $s$ en $\mathbf Z_p$ (véase, por ejemplo, Wash, capítulo 16). Obsérvese que esto sólo describe la "parte menos" (invertida por conjugación compleja) de $X(p)$ siendo aún desconocida la "parte plus" (fijada por conjugación compleja). Por ejemplo, si $K$ es el $p$ -campo ciclotómico, la famosa conjetura de Vandiver es equivalente a la desaparición de la parte positiva de $X(p)$ .