Invertibilidad de matrices con funciones linealmente independientes

Question

Supongamos que tenemos el $4\times 4$ matriz $V$

$$\begin{bmatrix} 1 & \cos{z_0} & \cos{2z_0} & \cos{3z_0}\\ 1 & \cos{z_1} & \cos{2z_1} & \cos{3z_1}\\ 1 & \cos{z_2} & \cos{2z_2} & \cos{3z_2}\\ 1 & \cos{z_3} & \cos{2z_3} & \cos{3z_3} \end{bmatrix}.$$

Obviamente, las funciones son linealmente independientes. Supongamos además que $z_0=-z_3$ y que $z_1=-z_2$ . Por lo tanto, puesto que $\cos{x}$ es par, tenemos que $V(1,2)=V(4,2)$ (1), $V(2,2)=V(3,2)$ y así sucesivamente para cada columna.

¿Es singular esta matriz?

(1) $V(1,2)$ es el elemento de la fila $1$ , columna $2$ .

Answer 1

La matriz será singular cuando el rango sea inferior a tres: $$ \rho < 3 $$ Esto ocurrirá cuando al menos uno de los vectores columna sea una combinación lineal de los vectores columna restantes.

Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando $\cos 2z_{0} = \cos z_0$ ...

Los malos ejemplos incluyen $$ z_{k} = 2(k+1)\pi $$