PDF de transformaciones a trozos: ¿por qué no se aplica en este caso?

Question

Esto es de Casella y Berger Inferencia estadística aunque se trata más de una cuestión de probabilidad que de estadística.

Teorema 2.1.8 Sea $X$ tener pdf $f_{X}$ , dejemos que $Y = g(X)$ . Definir el espacio muestral $$\mathcal{X} = \{x:f_{X}(x) > 0\}\text{.}$$ S existe una partición $A_0, A_1, \dots, A_k$ de $\mathcal{X}$ tal que $\mathbb{P}\left(X \in A_0\right) = 0$ y $f_{X}$ i en cada $A_i$ . Además, supongamos que existen funciones $g_1, \dots, g_k$ definido en $A_1, \dots, A_k$ respectivamente:

1. $g(x) = g_i(x)$ para $x \in A_i$ ,
2. $g_i$ es monótona en $A_i$ ,
3. el conjunto $\mathcal{Y} = \{y:y = g_i(x)\text{ for some }x \in A_i\}$ es el mismo para cada $i = 1, \dots, k$ y
4. $g_i^{-1}$ tiene una derivada continua en $\mathcal{Y}$ para cada $i, \dots, k$ .

Entonces, $$f_{Y}(y) = \begin{cases} \sum_{i=1}^{k}f_{X}\left(g^{-1}_{i}(y)\right)\left|\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}g_i^{-1}(y)\right|\text{, } & y \in \mathcal{Y} \\ 0\text{, } & \text{otherwise.} \end{cases}$$

El problema 2.7(a) de este libro es el siguiente:

Sea $X$ tener pdf $f_{X}(x) = \dfrac{2}{9}(x+1)$ , $-1 \leq x \leq 2$ . Encuentre el pdf de $Y = X^2$ . Obsérvese que el Teorema 2.1.8 no es directamente aplicable directamente a este problema.

¿Por qué no es aplicable el teorema 2.1.8? Toma $A_0 = \{0\}$ , $A_1 = [-1, 0)$ y $A_2 = (0, 2]$ . La transformación $Y = X^2$ es monótona sobre $A_1$ y $A_2$ así que no veo por qué no funciona.

Y el problema 2.7(b) es aún más confuso:

Demuestre que el Teorema 2.1.8 sigue siendo válido si los conjuntos $A_0, A_1, \dots, A_k$ contienen $\mathcal{X}$ y aplicar la extensión para resolver la parte (a) utilizando $A_0 = \varnothing$ , $A_1 = (-1, 1)$ y $A_2 = (1, 2)$ .

Esto no tiene sentido para mí, ya que $X^2$ no es monótona sobre $A_1$ aunque la ampliación tiene cierto sentido.

Answer 1

Como señala Did en los comentarios, sus definiciones de $A_1$ y $A_2$ no cumplen la tercera condición.

Tienes razón en que $g$ no es monótona en 2.7(b)'s $A_1 = (-1,1)$ ni la tercera condición $g_1(A_1) = g_2(A_2)$ satisfecho. Esto parece ser un error en su edición del libro. En la segunda edición, los conjuntos $A_i$ se dan como $A_0 = \emptyset$ , $A_1 = (-2,0)$ , $A_2 = (0,2)$ . Ahora la imagen $\mathcal{Y}$ es $(0,4)$ en ambos intervalos, y ambos $g_1$ y $g_2$ son monótonas.

Obsérvese que todavía no podemos aplicar exactamente la conclusión del Teorema 2.1.8 $f_Y(y) = \sum_{i=1}^{k}f_X(g_i^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g_i^{-1}(y)|$ porque tenemos elementos en $g_1^{-1}(\mathcal{Y})$ no en el dominio dado de $f_X$ . Necesitamos definir

$$f_X(x) = \begin{cases} \frac{2}{9}(x + 1) & x \in (-1, 2)\\ 0 & x \in (-2, -1) \end{cases}$$

y ahora después de aplicar el teorema, terminamos igualmente con una definición a trozos de $f_Y(y)$

$$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9}y^{-1/2} & y \in (0,1) \\ \frac{1}{9}(1 + y^{-1/2}) & y \in (1,4) \end{cases} $$

EDIT: Mirando un poco más de cerca, quizá podamos ver cómo surgió el error en su edición. Observe que $g^{-1}((0,1)) = (-1,1)$ y $g^{-1}((1,4)) = (1,2)\cup(-2,-1)$ . Entonces, si conociéramos la definición a trozos de $f_Y(y)$ y trabajáramos hacia atrás, podríamos pensar erróneamente que nuestra partición de $\mathcal{X}$ corresponderían a estos mismos intervalos.

Desgraciadamente, no es el caso. Particionamos el dominio aumentado $\mathcal{X_1} = (-2,-1)\cup\mathcal{X}$ en función de dónde $g$ es monótona, mientras que elegimos nuestros intervalos para la definición a trozos de $f_Y$ en función de la imagen $g((-2,-1))$ es decir, la diferencia entre nuestro dominio original $\mathcal{X}$ y nuevo dominio $\mathcal{X_1}$ .