¿Por qué una función vacía se considera una función?

Question

Una función por definición es un conjunto de pares ordenados, y también según el Kuratowski, un par ordenado $(x,y)$ se define como $$\{\{x\}, \{x,y\}\}.$$ Dado $A\neq \varnothing$ y $\varnothing\colon \varnothing \rightarrow A$ . Lo sé. $\varnothing \subseteq \varnothing \times A$ , pero aún así un conjunto vacío no es un par ordenado. ¿Cómo se explica que una función vacía es una función?

Answer 1

Una cosa que hay que señalar es que una función no es sólo cualquier conjunto de pares ordenados; una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. Sin embargo, una función $F$ en este caso es un tipo especial de relación binaria tal que para cada $x\in\text{dom }F$ Hay un único $y\in\text{ran }F$ , de tal manera que $xFy$ o $(x,y)\in F$ . Pero $\text{dom }\varnothing=\varnothing=\text{ran }\varnothing$ . ¿Puedes encontrar algún $x\in\text{dom }\varnothing$ por lo que no hay un único $y\in\text{ran }\varnothing$ para lo cual $x\varnothing y$ ? Ya que no se puede, $\varnothing$ es efectivamente una función.

Answer 2

Creo que la respuesta se esconde en la profundidad de " vacuamente cierto argumento".

Un argumento de la forma $\forall x\varphi$ es verdadera si y sólo si no hay $x$ tal que $\lnot\varphi(x)$ .

Por ejemplo, si nuestro universo son los números naturales con la habitual $\ge$ orden, entonces $\forall x(x\ge 0)$ es verdadera porque no hay números negativos.

Por otro lado, $\forall x(x\ge 0 \land x\neq 0)$ es falsa, simplemente porque al establecer $x=0$ es un contraejemplo.

De manera más general, una frase "Si $p$ entonces $q$ " ( $p\implies q$ o $p\rightarrow q$ ) es verdadera siempre que la suposición es falsa, es decir $p$ nunca ocurre.

Un ejemplo que utilizo a menudo es: "Si ahora mismo estoy de cabeza en el techo, entonces todos vosotros sois unicornios". No importa que me dirija a las personas y no a los unicornios, porque nunca me pongo boca abajo desde el techo (me da un gran dolor de cabeza).

El siguiente punto en nuestro viaje hacia la función vacía, es la cuantificación acotada. Cuando escribimos $\forall x\in A(P(x))$ en realidad escribimos $\forall x(x\in A\rightarrow P(x))$ esto significa que cuantificamos sobre todas las posibles $x$ pero si $x\notin A$ entonces ya no nos importa (la proposición es verdadera ya que la suposición es falsa).

Y por último, la definición de una función $F$ es esto: $$\begin{align} \forall z & (z\in F\rightarrow\exists x\exists y(z=\{\{x\},\{x,y\}\})\land\\ & \forall x(\exists z\exists y(z\in F\land z=\{\{x\},\{x,y\}\})\rightarrow \\ &\qquad(\forall u\forall v(\exists z\exists w((z\in F\land w\in F\land z= \{\{x\},\{x,v\}\}\land w=\{\{x\},\{x,u\}\})\rightarrow u=v) \end{align}$$

Leamos esta larga fórmula. Dice que $F$ es tal que cada elemento de $F$ es un par ordenado, y para cada $x$ si existe un par ordenado $z$ con $x$ para la coordenada izquierda, entonces sólo hay un tal par (es decir, dados dos pares, si su coordenada derecha es igual entonces son iguales).

De manera informal, $F$ es una función si es un conjunto de pares ordenados, que para cada $x\in Dom(f)$ hay un único $y$ tal que $\langle x,y\rangle\in F$ .

Un ejemplo es $F=\{\langle 1,2\rangle\}$ es una función, todos sus miembros son pares ordenados, y como sólo hay un miembro satisface automáticamente el requisito de que la coordenada izquierda determina el par.

Por otro lado $R=\{\langle 1,2\rangle,\langle 1,3\rangle\}$ es un conjunto que efectivamente todos sus miembros son pares ordenados, pero hay dos pares ordenados distintos con $1$ en la coordenada izquierda, por lo que es no una función.

Y aún más $A=\{3,\langle 1,2\rangle\}$ no es claramente una función, ya que $3$ ¡no es un par ordenado!

La definición de una función es vacuamente cierto cuando se aplica al conjunto vacío, veamos por qué:

1. Para todos $z$ si $z\in\emptyset$ entonces $z$ es un par ordenado es vacuamente verdadero, ya que no $z$ es un miembro del conjunto vacío.
2. A continuación tenemos, que para todo $x$ si hay algún par ordenado en el conjunto vacío, con $x$ como coordenada izquierda entonces la coordenada derecha es única, esto también es vacuamente cierto ya que no hay ningún par ordenado en el conjunto vacío con $x$ en la coordenada izquierda. Este es exactamente el caso $p\rightarrow q$ y $p$ es falso.

La conjunción de dos afirmaciones verdaderas también es verdadera, por lo que el conjunto vacío satisface el requisito de que cada elemento del mismo es un par ordenado, y si dos pares ordenados tienen la misma coordenada izquierda entonces son iguales. Por lo tanto, $\emptyset$ es una función.

Answer 3

El conjunto vacío es un set de pares ordenados. No contiene pares ordenados pero eso está bien, de la misma manera que $\varnothing$ es un conjunto de números reales aunque $\varnothing$ no es un número real.