X e Y son dos variables aleatorias i.i.d. que tienen la distribución uniforme en $[0,1]$ Se trata de calcular $Pr(Y\geq \frac{1}{2} | Y\geq 1-2X)$ Mis cálculos: $$ \begin{align} Pr(Y\geq \frac{1}{2} | Y\geq 1-2X) &= \frac{Pr(Y\geq\frac{1}{2} \cap Y\geq 1-2X)}{Pr( Y\geq 1-2X)}\\ Pr(Y\geq\frac{1}{2} \cap Y\geq 1-2X) &= \int_{0}^{1/4}dx\int_{\frac{1}{2}}^{1-2x}dy\\ &= \frac{1}{16}\\ Pr(Y\geq 1-2X) &= \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\\ \end{align} $$ Haciendo que la probabilidad total $\frac{1}{6}$ . Y una vez más me equivoco, la respuesta es $\frac{7}{12}$ . Realmente no veo cómo se puede encontrar esta respuesta?
Respuestas
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Puedes calcularlo geométricamente, al menos como comprobación.
Sea $A$ sea el cuadrado con vértices $(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)$ .
Sea $R$ sea la región dentro de $A$ con todos los puntos anteriores $y=1-2x$ y superiores $y=1/2$ .
Sea $S$ sea la región dentro de $A$ con todos los puntos anteriores $y=1-2x$ .
Puedes calcular las áreas de estas regiones sin cálculo.
Entonces la probabilidad que buscas es Área(R)/Área(S).
user2566092
Puntos
19546
Pista: El principal problema parece estar en tu primera integral. Esencialmente estás suponiendo $Y \geq 1/2$ y $Y$ es MENOR QUE $1 - 2X$ en función de los límites de la integración, en lugar de tener $Y \geq 1 - 2X$ . Intente integrar con respecto a $X$ primero escribiendo $1 \geq X \geq (1 - Y)/2$ e integrando $Y$ de los límites $1/2$ a $1$
