¿Puedo aplicar la transformada de Fourier a las series de Fourier?

Question

¿Puedo aplicar la transformada de Fourier a una serie de Fourier?

Answer 1

Supongamos que su serie de Fourier de onda cuadrada tiene el aspecto siguiente este :

$$ \begin{align} x_{\mathrm{square}}(t) & {} = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^M{\sin{\left ((2k-1) 2\pi ft \right )}\over(2k-1)} \\ & {} = \frac{4}{\pi}\left (\sin(2\pi ft) + {1\over3}\sin(6\pi ft) + {1\over5}\sin(10\pi ft) + \cdots\right ) \end{align} \tag{1} $$

Cuando se le aplica la Transformada de Fourier, se utiliza la propiedad de linealidad :

Para cualquier número complejo $a_n$ si $h(x)=\sum_n a_n\cdot f_n(x)$ entonces $ \hat{h}(\xi)=\sum_n a_n\cdot \hat{f_n}(\xi) $ ,

por lo que el FT de ${\sin{\left ((2k-1) 2\pi ft \right )}\over(2k-1)}$ es

$$ \mathcal{F}_t\left[{\sin{\left ((2k-1) 2\pi ft \right )}\over(2k-1)}\right](\omega)= i\frac{ \sqrt{\pi/2} \delta\left(\omega-f \pi (2k-1)\right)}{(2k-1)}-i\frac{ \sqrt{\pi/2} \delta(\omega+f \pi (2k-1))}{(2k-1)}, $$ con $\delta(\cdot)$ siendo el Dirac $\delta$ función. Ahora puede cortar las frecuencias por encima de su umbral, pero es posible que haya hecho esto en $(1)$ ya, por lo que no hay necesidad real de transformarlo.