Siguiente problema en un simulacro de examen:
Demostrar o falsificar: (1) Si $f_j \rightharpoonup f$ , $g_j \rightarrow g$ en $L^4(\mathbb{R})$ entonces $f_j g_j \rightharpoonup fg$ en $L^2(\mathbb{R})$ .
(2) Si $f_j \rightharpoonup f$ , $g_j \rightharpoonup g$ en $L^4(\mathbb{R})$ entonces $f_j g_j \rightharpoonup fg$ en $L^2(\mathbb{R})$ .
Mi intento:
Queremos demostrar que $\int_\mathbb{R} f_j g_j \psi dx \rightarrow \int_\mathbb{R} f g \psi dx$ para todos $\psi \in L^2(\mathbb{R})$ así que empecemos:
$\vert \int_\mathbb{R} f_j g_j \psi dx - \int_\mathbb{R} f g \psi dx \vert \leq \vert \int_\mathbb{R} (f_j g_j - fg_j) \psi dx\vert + \vert \int_\mathbb{R} (f g_j - fg) \psi dx\vert$
El primer sumando es igual a $\int (f_j - f) g_j \psi dx$ y tiende a cero porque la suposición y $g_j \psi \in L^2$ . El segundo sumando es igual a $\int (g_j - g)f \psi dx$ y con $f\psi \in L^2$ tiende también a cero porque $\int (g_j - g)f \psi dx \leq \vert\vert g_j - g\vert\vert_{L^4} \vert\vert f\psi\vert\vert_{L^{4/3}} \rightarrow 0$ .
Así que eso sería una prueba para (1) pero (2) fallaría porque esta última estimación ya no es cierta. ¿Alguien tiene un contraejemplo? ¿Todo es cierto en mis pasos anteriores? :) ¡Gracias por los comentarios!
