Demostración del teorema del resto polinómico

Question

Mi libro de texto dice que $f(x)$ siempre se puede escribir como $$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$$ pero no aporta ninguna prueba de ello y no consigo encontrarla en ninguna parte.

¿Y qué dice en realidad, que siempre debe existir alguna combinación de $g(x), q(x) $ y $r(x)$ para satisfacer la ecuación, o dice que para cualquier $g(x)$ siempre debe existir alguna combinación de $r(x) , q(x) $ para satisfacer la ecuación? Es decir, ¿existe una solución para cada $g(x)$ o hay una cantidad fija de $g(x), q(x) , r(x)$ que lo satisfaga?

Answer 1

Supongamos que el polinomio $f(x)$ tiene grado $n$ y $g$ tiene grado $m\ge 1$

Si $m\gt n$ entonces $f(x)=0\cdot g(x) +f(x)$ con $q(x)=0$ y $r(x)=f(x)$

Lo que buscamos es el grado de $r(x)$ siendo menor que el grado de $g(x)$ así que esto funciona.

Tratamos esto como un caso base y asumimos que hemos tratado todos los casos en los que deg $(f)\ge n-1$ y que $n\ge m$

Sean los polinomios $f(x)=a_nx^n+f_n(x)$ y $g(x)=b_mx^m+g_m(x)$ donde $a_n, b_m \neq 0$ y deg $(f_n)\lt n$ , deg $(g_m)\lt m$

Entonces queremos escribir $f(x)=\cfrac {a_n}{b_m}\cdot x^{n-m}g(x)+f_n(x)-\cfrac {a_n}{b_m}\cdot x^{n-m}g_m(x)$ por lo que necesitamos un contexto en el que podamos dividir por $b_m$ - los coeficientes suelen ser de un campo o anillo de división para que esto funcione. Aquí sólo estamos dividiendo para deshacernos de la potencia más alta de $x$ .

La cuestión es que el grado de $f_n(x)-\cfrac {a_n}{b_m}\cdot x^{n-m}g_m(x)$ es inferior a $n$ por lo que podemos escribirlo como $q_n(x)g(x)+r_n(x)$ y tenemos $$f(x)=\left(\cfrac {a_n}{b_m}\cdot x^{n-m}+q_n(x)\right)g(x)+r_n(x)$$

Como exigimos.

Todo esto es un poco largo y farragoso para una simple división, pero espero que sirva para poner de relieve las suposiciones.

Answer 2

El teorema de División euclídea de polinomios establece que

Sea $K$ sea un campo. Para cualquier polinomio $f(x),\, g(x)\in K[x]$ , $g(x)\neq 0$ existe un par de polinomios $q(x), r(x)$ tal que

1. $g(x)=q(x)g(x)+r(x)$
2. $r(x)=0\;$ o $\;\deg r(x)<\deg g(x)$ .

Además, la pareja $\bigl(q(x),r(x)\bigr)$ que satisfaga estas condiciones es única.

La prueba de existencia es fácil por inducción fuerte sobre el grado de $f(x)$ :

• Si $f(x)=0$ o $\deg f(x)<\deg g(x)$ hay una solución obvia: $q(x)=0$ , $r(x)=f(x)$ .
• Si $n=\deg f(x)\ge \deg g(x)=d$ supongamos que la afirmación es cierta para todos los polinomios de grado $<n$ y escribe: \begin{align*} f(x)&=\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i+a_nx^n,& g(x)&=\sum^{d-1}_{i=0}b_ix^i+b_dx^d \end{align*} El polinomio $$ f_1(x)=f(x)-\dfrac{a_n}{b_d}x^{n-d}g(x)=\sum^{n-1}_{i=0}a_ix^i+a_nx^n - \sum^{d-1}_{i=0}\frac{a_nb_i}{b_d}x^{n-d+i}-a_n x^n$$ tiene grado $\le n-1$ . Por la hipótesis inductiva, podemos escribir: $$f_1(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x),\quad r_1(x)=0\enspace\text{or}\enspace\deg r_1(x)<\deg(x)$$ de donde $$f(x)=f_1(x)+\dfrac{a_n}{b_d}x^{n-d}g(x)=\Bigl(\underbrace{q_1(x)+\dfrac{a_n}{b_d}x^{n-d}}_{\textstyle q(x)}\Bigr)g(x)+\underbrace{r_1(x)}_{r(x)}$$

Unicidad:

Supongamos que tenemos $f(x)=q(x)g(x)+r(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$ . Reescribimos la última igualdad como $$\bigl(q_1(x)-q(x)\bigr)g(x)=r(x)-r_1(x)$$ Esto implica $q_1(x)=q(x)$ Por lo tanto $r(x)=r_1(x)$ .

En efecto, si $q_1(x)\neq q(x)$ , $\deg\bigl(q_1(x)-q(x)\bigr)g(x)\ge\deg g(x)$ mientras que $$\deg\bigl(r(x)-r_1(x)\bigr)\le\max\bigl(\deg r(x),\deg r_1(x)\bigr)<\deg g(x).$$

Nota: Si eliminamos la condición del grado de $r(x)$ la unicidad ya no es cierta.

Answer 3

Lo que esta prueba está diciendo es que hay una $q(x)$ (el cociente) para cada $g(x)$ y también hay un $r(x)$ si hay un resto.

Por ejemplo, muestre lo siguiente en el formulario: $$ f(x) = g(x)q(x) + r(x) $$ donde $g(x) = x+1 $

y $f(x) = x^{2} + x + 1 $ .

Así que aquí aplicamos la transformación de división o la división sintética.

Al final, obtenemos $$f(x) = (x+1)(x) + 1$$

Toma, $g(x) = x+1$ , $q(x) = x$ y $r(x) = 1$ .

Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem para una explicación más detallada.

Answer 4

Supongamos que el primer término de $f$ es $a_nx^n$ y el término inicial de $g$ es $b_mx^m$ donde $m \leq n$ . Si $m>n$ basta con elegir $q(x)=0$ y $r(x)=g(x)$ .

Obsérvese que si tomamos $f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)$ entonces el primer término de $f$ desaparece y la diferencia, que llamaremos $r_1(x)$ es ahora un polinomio cuyo grado es uno menos que $f$ . Así que tenemos, $f(x) = \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)+r_1(x)$ . ¿Ves alguna forma de continuar con este proceso? (Sugerencia: Intenta ver la conexión entre la demostración y los pasos de la división larga de polinomios).