Secuencia infinita $2^{n}-3 (n=2,3,...)$ no contiene ningún término divisible por 65

Question

Demuestre que la sucesión infinita $2^{n}-3 (n=2,3,...)$ contiene infinitos términos divisibles por $5$ e infinitos términos divisibles por $13$ pero ningún término divisible por $65$

Mi intento de esto:- Por el teorema de Fermat, $$2^{4}\equiv 1\pmod5$$ Elevando a la potencia k obtenemos, $$2^{4k}\equiv 1\pmod5$$

$$2^{4k+3}\equiv 8\pmod5$$ $$2^{4k+3}\equiv 3\pmod5$$ Así que.., $5\mid 2^{n}-3\quad\forall \quad n=4k+3$ donde $k$ es cualquier número entero no negativo. Análogamente, por el teorema de Fermat $$2^{12}\equiv 1\pmod{13}$$ $$2^{12k}\equiv 1\pmod{13}$$ $$2^{12k+4}\equiv 16\pmod{13}$$ $$2^{12k+4}\equiv 3\pmod{13}$$ Por lo tanto, $13\mid 2^{n}-3\quad\forall \quad n=12k+4$

¿Cómo demuestro que no contiene ningún término divisible por 65? Gracias.

Answer 1

Vas por buen camino. Por el pequeño teorema de Fermat, $2^n\pmod{5}$ et $2^n\pmod{13}$ dependen únicamente de $n\pmod{4}$ et $n\pmod{12}$ respectivamente. Ha demostrado que $2^n\equiv 3 \pmod{5}$ si $n\equiv 3\pmod{5}$ pero eso es lo contrario de lo que quieres demostrar; quieres demostrar que $2^n\equiv 3\pmod{5}$ sólo si $n\equiv 3\pmod{5}$ y lo mismo para $13$ . El resultado que obtendrá $2^n\equiv 3\pmod{5}$ sólo si $n\equiv 3\pmod{4}$ et $2^n\equiv 3\pmod{13}$ sólo si $n\equiv 4\pmod{12}$ . Es evidente que estas dos condiciones nunca pueden cumplirse simultáneamente.

Answer 2

Pista:

Escriba a $12k+4$ como $12n+4$ que debe ser igual a $4k+3$ que es impar a diferencia del anterior y $k,n$ son números enteros arbitrarios

Answer 3

Tenga en cuenta que $4k+3$ es de la forma $12k+3, 12k+7,\text { or } 12k+11,$ nunca de la forma $12k+4,$ así que no hay números en común en sus secuencias.