Demuestra que $|f(x)| \leq 1$ , $\forall x$ . ¿Para qué valor de $x$ es la igualdad alcanzada $f(x)=\frac{\sin nx}{n \sin x}$ ?

Question

Demuestre que $|f(x)| \leq 1$ , $\forall x$ . ¿Para qué valor de $x$ ¿se alcanza la igualdad?

Dada:

1. La función $f$ : $$f(x)=\frac{\sin nx}{n \sin x},$$ con $x \neq k \pi$ , $k \in \mathbb Z$ , $n \in \mathbb Z^+$

Otro(s) dado(s): (de preguntas anteriores),

2. con $x_0$ siendo un punto extremo local, se encontró que $$ |f(x_0)| = \left[ 1 + (n^2-1) \sin^2(x_0) \right]^{-\frac{1}{2}}$$
3. $f$ es continua en $k \pi$ cuando $f(k\pi)$ se define como $(-1)^{nk-k}$

(No estoy seguro de que esos "otros dados" son útiles lo puse por en caso de). '

$$|f(x)| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq f(x) \leq 1$$

Tengo dificultades para entender aquí como la función no está definida en $x=k \pi$ Entonces, ¿cómo podemos demostrar que $|f(x)| \leq 1$ lo mismo con la segunda parte de la pregunta.

Quería usar el teorema de Rolle pero $f$ tiene que ser continua en un intervalo cerrado.

¿Cuál sería un buen enfoque para resolver este problema?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $x \approx 0$ entonces $\sin x \approx x$ de ahí $\frac{\sin nx}{n \sin x} \approx \frac{nx}{nx} = 1$ . La cuestión es que $f(x)$ no explota cerca de múltiplos de $\pi$ porque el comportamiento en el numerador equilibra el del denominador. Puedes generalizar esto para demostrar que $$\frac{\sin nx}{n \sin x} \approx (-1)^{kn - k}$$ cuando $x \approx k\pi$ .

Como dijo Hamed en los comentarios, $|f(x)| \le 1$ se deduce inmediatamente de

$$ |f(x_0)|=\left[ 1+(n^2−1)\sin^2(x_0) \right]^{-\frac12}. $$

Tenga en cuenta que $a^{-1/2} \le 1$ si $a \ge 1$ et $a^{-1/2} = 1$ sólo si $a = 1$ .