Operadores compactos y convergencia débil

Question

Sea $X$ et $Y$ sean espacios de Banach.

(a) Sea $T \in \mathcal{L}(X, Y )$ . Para cada secuencia $(x_n)_{n \geq 1}$ en $X$ y cada $x \in X$ demuestre que $x_n x$ débilmente, como $n \rightarrow \infty$ implica que $Tx_n \rightarrow Tx$ débilmente, como $n\rightarrow \infty$ .

(b) Sea $T \in \mathcal{K}(X, Y )$ . Para cada secuencia $(x_n)_{n \geq 1}$ en $X$ y cada $x \in X$ demuestre que $x_n x$ débilmente, como $n \rightarrow \infty$ implica que $||Tx_n -Tx|| \rightarrow 0$ como $n\rightarrow \infty$ ..

(c) A la inversa, si $X$ es reflexivo y separable, y $T \in \mathcal{L}(X,Y)$ cumple que $Tx_n Tx \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ Siempre que $(x_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia en $X$ que converge débilmente a $x \in X$ entonces $T \in \mathcal{K}(X, Y )$ .

(d) Demuestre que cada $T \in \mathcal{L}(X,l_1(\mathbb{N}))$ es compacto, siempre que $X$ es reflexivo y separable.

(e) Sea $Y$ ser de dimensión infinita. Demostrar que no $T \in \mathcal{K}(X, Y )$ está abierto.

(f) Demuestre que no existe ningún espacio de Banach reflexivo separable $X$ tal que $l_1(\mathbb{N}) = T(X)$ para algunos $T \in \mathcal{L}(X,l_1(\mathbb{N}))$ .

Mi intento:

(a) Tenemos que $x_n \rightarrow x$ débilmente si y sólo si $f(x_n) \rightarrow f(x)$ débilmente para cada $ f \in X^*$ . Ahora $Tx_n \rightarrow Tx$ débilmente si y sólo si $g(Tx_n) \rightarrow g(Tx)$ débilmente para cada $g \in Y^*$ . Pero por cada $g \in Y^*$ tenemos $gT \in X^*$ . Por lo tanto $Tx_n \rightarrow Tx \Leftrightarrow g(Tx_n) \rightarrow g(Tx) \Leftrightarrow (gT)x_n \rightarrow (gT)x \Leftrightarrow x_n \rightarrow x$ débilmente.

b) Puesto que $T$ es compacto sé que cada secuencia se envía a una secuencia que tiene una subsecuencia convergente, pero entonces no sé cómo proceder.

c) Tengo una pista para este problema:

Supongamos que $T$ no es compacto. Demuestre que existe $\delta > 0$ y una secuencia $(x_n)_{n\geq 1}$ en la bola unitaria de $X$ tal que $Tx_n Tx_m \geq \delta$ para todos $n \neq m$ .. Demostrar a continuación que $(x_n)_{n\geq 1}$ tiene una subsecuencia débilmente convergente.

(d) Dejemos ahora que $(x_n)_{n \geq 1}$ sea una secuencia en $ X$ y $x \in X$ tal que $ x_n \rightarrow x$ débilmente, como $n \rightarrow \infty$ . Por la parte (a) ya que $T \in \mathcal{L}(X,l_1(\mathbb{N}))$ obtenemos $Tx_n \rightarrow Tx$ débilmente, como $n \rightarrow \infty$ . Pero la convergencia débil es lo mismo que la convergencia de la norma en $l_1(\mathbb{N})$ . Por lo tanto $||Tx_n-Tx|| \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ . Así que podemos utilizar la parte $c)$ para deducir que $T \in \mathcal{K}(X,l_1(\mathbb{N}))$ según lo solicitado.

(e) Sé que si $Y$ es de dimensión infinita la bola unitaria en $Y$ no es compacto.

(f) Puesto que $X$ es reflexivo y separable, por la parte (d) obtenemos que $T$ es compacto. Supongamos ahora que $l_1(\mathbb{N})=T(X)$ es decir $T$ es suryectiva. Por el teorema del mapa abierto $T$ es abierto y esto contradice la parte (e).

Answer 1

(a) ¡Tiene buena pinta!

(b) Utilizando este dato y (a), deberías estar listo. Si $Tx_n$ no converge a $Tx$ en norma, entonces debe haber una subsecuencia $(Tx_{n_k})_k$ que mantiene al menos algunos $\varepsilon > 0$ distancia desde $Tx$ . Tomemos una subsecuencia norma-convergente de esta subsecuencia, y será una subsecuencia que no converge débilmente a $Tx$ (ya que norma-convierte a otro punto). Esto contradice (a).

(c) No estoy seguro de dónde entra la separabilidad aquí, pero si $T$ no es compacto, entonces $T(B_X)$ no está totalmente acotada. Es decir, existe un $\delta > 0$ tal que ningún número finito de bolas de radio $\delta$ que cubren $T(B_X)$ . Por lo tanto, podemos elegir $Tx_1 \in T(B_X)$ y para cada $n$ , $$Tx_{n+1} \in T(B_X) \setminus \bigcup_{k=1}^n B[x_k; \delta],$$ que nunca está vacío por definición de $\delta$ . Así, tenemos una secuencia $(x_n) \in B_X$ tal que $$\|Tx_n - Tx_m\| > \delta$$ para todos $n, m$ . Utilizando la reflexividad, así como Eberlein-Smulian, la secuencia $(x_n)$ debe tener una subsecuencia débilmente convergente. Nótese que esta subsecuencia débilmente convergente también debe tener sus términos separados por al menos $\delta$ lo que significa que no se puede mapear a una sucesión norma-convergente (ya que tal sucesión tendría que ser Cauchy). Esto demuestra la contrapositiva de (c).

(d) Bien.

(e) Si $T$ es compacto y abierto, entonces $T(B[0; 1])$ contiene $T(B(0; 1))$ que es abierto, ya que $T$ es un mapa abierto. Por lo tanto, $T(B[0; 1])$ contiene alguna bola $B[y; r]$ . Desde $T$ es compacta, el cierre de $T(B[0; 1])$ es compacto, por lo que también lo es el subconjunto cerrado $B[y; r]$ . Un argumento de escala y traslación da como resultado que $Y$ tiene una bola unitaria compacta y, por tanto, es de dimensión finita.

(f)