Sea $(\Omega,\mathcal F)$ sea un espacio medible y $X:\Omega\rightarrow\mathbb R^d$ un mapa mensurable. Para una medida de probabilidad $\mathbb P$ denotado por $\mu_\mathbb P$ la medida de la imagen de $\mathbb P$ bajo el mapa $X$ y por $\text{supp}(\mu_\mathbb P)$ el apoyo de $\mu_\mathbb P$ donde el soporte se define como el menor conjunto cerrado tal que su complemento tiene $\mu_\mathbb P$ -medir $0$ . Sabemos que $X(\Omega)$ es denso en $\text{supp}(\mu_\mathbb P),$ es decir $\text{supp}(\mu_\mathbb P)\subseteq\overline{X(\Omega)}.$ ¿Existe una caracterización de las medidas de probabilidad $\mathbb P$ para lo cual tenemos $\text{supp}(\mu_\mathbb P)=\overline{X(\Omega)}?$ Para $\Omega$ et $X$ ¿existe siempre tal medida?
Respuesta
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Para $\Omega$ et $X$ dicha medida siempre existe. Sea $\mathcal{B}$ sea una base contable para $\overline{X(\Omega)}$ . Cada elemento $B$ de $\mathcal{B}$ contiene un punto $y_B\in X(\Omega)$ . Sea $x_B\in X^{-1}\big(\{y_B\}\big)$ . Una medida de probabilidad que asigna probabilidad positiva a cada elemento de $\{x_B:B\in\mathcal{B}\}$ tiene la propiedad deseada.
